En première, une équation du second degré de discriminant négatif n’avait « pas de solution ». Dans ℂ, elle en a toujours : deux solutions conjuguées. Plus généralement, on apprend ici à factoriser un polynôme dès qu’on connaît une racine, ce qui permet de résoudre des équations de degré 3 ou 4.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Résoudre dans ℂ une équation du second degré à coefficients réels
- Factoriser zⁿ − aⁿ par z − a
- Factoriser un polynôme P par z − a lorsque P(a) = 0
- Savoir qu’un polynôme de degré n a au plus n racines
1. Second degré à coefficients réels
On considère az² + bz + c = 0 avec a, b, c réels et a ≠ 0, de discriminant Δ = b² − 4ac.
| Signe de Δ | Solutions dans ℂ |
|---|---|
| Δ > 0 | deux réelles : et |
| Δ = 0 | une réelle (double) : |
| Δ < 0 | deux complexes conjuguées : et |
Résoudre z² − 2z + 5 = 0
- Δ = 4 − 20 = −16 < 0, et √(−Δ) = 4
- z₁ = = 1 − 2i et z₂ = 1 + 2i
S = {1 − 2i ; 1 + 2i}.
2. Factorisation de zⁿ − aⁿ
zⁿ − aⁿ = (z − a)(zⁿ⁻¹ + azⁿ⁻² + … + aⁿ⁻²z + aⁿ⁻¹)
Factoriser z³ − 8
- 8 = 2³, donc z³ − 2³ = (z − 2)(z² + 2z + 4)
Les solutions de z³ = 8 sont 2 et les racines de z² + 2z + 4, soit −1 − i√3 et −1 + i√3.
3. Racine d’un polynôme et factorisation
Racine : a est une racine du polynôme P si P(a) = 0. Dans ce cas, il existe un polynôme Q de degré n − 1 tel que P(z) = (z − a)Q(z).
- Un polynôme non nul de degré n admet au plus n racines.
- Si P est à coefficients réels et si z₀ est racine, alors z̄₀ aussi (car P(z̄₀) est le conjugué de P(z₀) = 0).
Résoudre z³ − 3z² + 4z − 2 = 0
- Racine évidente : 1 − 3 + 4 − 2 = 0.
- On cherche Q(z) = z² + bz + c avec (z − 1)(z² + bz + c) = z³ + (b − 1)z² + (c − b)z − c.
- Identification : b − 1 = −3, c − b = 4, −c = −2, donc b = −2 et c = 2.
- z² − 2z + 2 = 0 : Δ = −4, solutions 1 − i et 1 + i.
S = {1 ; 1 − i ; 1 + i}.
À retenir
- Si Δ < 0, les solutions sont , complexes conjuguées.
- zⁿ − aⁿ se factorise par z − a.
- P(a) = 0 ⟺ P(z) = (z − a)Q(z) ; on trouve Q par identification.
- Un polynôme de degré n a au plus n racines.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.