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Équations polynomiales dans ℂ
Dans ℂ, toute équation du second degré à coefficients réels a des solutions ; on factorise un polynôme dès qu’on connaît une racine.
Second degré (a, b, c réels)
- Δ = b² − 4ac.
- Δ < 0 : z = , solutions conjuguées.
- z₁ + z₂ = − et z₁z₂ = .
Factorisation
- zⁿ − aⁿ = (z − a)(zⁿ⁻¹ + azⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
- P(a) = 0 ⟺ P(z) = (z − a)Q(z) ; Q par identification.
- Degré n : au plus n racines.
Pièges à éviter
- Ne jamais écrire √ d’un nombre négatif.
- La propriété « racines conjuguées » n’est vraie que pour des coefficients réels.
- Vérifier une racine évidente avant de factoriser (essayer 1, −1, 2, −2, i…).