Exercices : nombres complexes : forme algébrique et conjugué

Exercice 1

Réponse : −1

C’est la propriété qui définit i : i² = −1.

Exercice 2

Réponse : 5

On développe puis on remplace i² par −1.

1. (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i²
2. = 2 + i + 3 = 5 + i
3. Re = 5

Exercice 3

Réponse : 4

Identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b².

1. (1 + 2i)² = 1 + 4i + 4i²
2. = 1 + 4i − 4 = −3 + 4i
3. Im = 4 (un réel, sans le i)

Exercice 4

Réponse : Faux

On ne change que le signe de la partie imaginaire : le conjugué de 3 − 5i est 3 + 5i. Le nombre −3 + 5i est l’opposé de 3 − 5i.

Exercice 5

Réponse : 12 − 12i

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué 1 − i.

1. 11 + i = 1 − i(1 + i)(1 − i)
2. (1 + i)(1 − i) = 1 + 1 = 2
3. = 12 − 12i

Exercice 6

Réponse : -1

Les puissances de i sont périodiques de période 4.

1. 2026 = 4 × 506 + 2
2. i²⁰²⁶ = (i⁴)⁵⁰⁶ × i² = 1 × (−1)
3. = −1

Exercice 7

Réponse : Vrai

z × z̄ = (a + ib)(a − ib) = a² − (ib)² = a² + b², qui est un réel positif ou nul.

Exercice 8

Réponse : 1 → C · 2 → B · 3 → D · 4 → A

(1 + i)² = 1 + 2i − 1 = 2i ; (1 + i)(1 − i) = 1 − i² = 2 ; i³ = i² × i = −i ; (2 − i) − (2 + i) = −2i.

Exercice 9

Réponse : réelle · imaginaire · imaginaire pur

Re(z) = a, Im(z) = b ; un complexe de partie réelle nulle est un imaginaire pur (par exemple 3i).

Exercice 10

Exemple de réponse : Posons z = a + ib avec a, b réels. Alors z̄ = a − ib.
z̄ = z ⟺ a − ib = a + ib ⟺ −b = b (unicité de la forme algébrique) ⟺ b = 0 ⟺ z est réel.

On passe par la forme algébrique et on identifie les parties imaginaires : z̄ = z équivaut à b = −b, donc à b = 0.

• Tu as posé z = a + ib avec a et b réels.
• Tu as utilisé l’unicité de la forme algébrique.
• Tu as traité les deux sens (ou raisonné par équivalences).