Quand on agrandit ou réduit une figure ou un solide, toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre k. Mais les aires et les volumes ne varient pas de la même façon ! Ces notions servent aussi à étudier les sections de solides.
Objectifs
- Connaître l’effet d’un agrandissement ou d’une réduction sur les longueurs, aires et volumes
- Calculer un rapport d’agrandissement ou de réduction
- Connaître la nature de la section d’un solide usuel par un plan
- Calculer le volume d’une pyramide ou d’un cône réduit
1. Longueurs, aires et volumes
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k (k > 1 : agrandissement ; 0 < k < 1 : réduction) :
| Grandeur | est multipliée par | Exemple avec k = 2 |
|---|---|---|
| longueurs | k | × 2 |
| aires | k² | × 4 |
| volumes | k³ | × 8 |
| angles | inchangés | inchangés |
Une maquette au d’une maison
- k = = 0,02
- Les aires de la maquette sont celles de la maison × 0,02² = 0,0004.
- Les volumes sont multipliés par 0,02³ = 0,000 008.
2. Rappels de volumes
| Solide | Volume |
|---|---|
| pavé droit | L × l × h |
| prisme droit, cylindre | aire de la base × hauteur |
| pyramide, cône | × aire de la base × hauteur |
Volume d’un cône de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm
- Aire de la base : π × 3² = 9π cm²
- V = × 9π × 10 = 30π ≈ 94,2 cm³
3. Sections de solides par un plan
| Solide | Plan de coupe | Section |
|---|---|---|
| cube | parallèle à une face | carré identique à la face |
| pavé droit | parallèle à une face | rectangle identique à cette face |
| pavé droit | parallèle à une arête | rectangle |
| cylindre de révolution | parallèle à la base | disque de même rayon |
| cylindre de révolution | parallèle à l’axe | rectangle |
| pyramide ou cône | parallèle à la base | réduction de la base |
4. Pyramides et cônes réduits
Quand on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base, on obtient au sommet une petite pyramide (ou un petit cône) qui est une réduction du solide initial.
Un cône a une hauteur de 12 cm et un volume de 100π cm³. On le coupe parallèlement à la base, à 4 cm du sommet.
- Rapport de réduction : k = =
- Volume du petit cône : 100π × ()³ =
- ≈ 11,6 cm³
Le petit cône a un volume d’environ 11,6 cm³.
À retenir
- Rapport k : longueurs × k, aires × k², volumes × k³, angles conservés.
- k > 1 : agrandissement ; 0 < k < 1 : réduction.
- Section d’un pavé : rectangle ; d’un cylindre parallèlement à la base : disque.
- Section d’une pyramide ou d’un cône parallèle à la base : réduction de la base.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.