Quand une droite en coupe deux autres, elle forme huit angles. Certains couples d’angles permettent de calculer des mesures et de démontrer que deux droites sont parallèles, sans rien mesurer.
Objectifs
- Reconnaître des angles adjacents, complémentaires, supplémentaires, opposés par le sommet
- Reconnaître des angles alternes-internes et correspondants
- Calculer des angles avec des droites parallèles
- Démontrer que deux droites sont parallèles (ou ne le sont pas)
1. Rappels : couples d’angles
- Deux angles adjacents ont le même sommet, un côté commun, et sont situés de part et d’autre de ce côté.
- Deux angles complémentaires ont des mesures dont la somme vaut 90°.
- Deux angles supplémentaires ont des mesures dont la somme vaut 180°.
- Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet et leurs côtés dans le prolongement l’un de l’autre : ils ont la même mesure.
2. Angles alternes-internes et correspondants
On considère deux droites (d) et (d′) coupées par une sécante (s). On obtient deux points d’intersection, avec quatre angles autour de chacun.
Angles alternes-internes : Deux angles situés entre (d) et (d′) (« internes ») et de part et d’autre de la sécante (« alternes »), avec des sommets différents.
Angles correspondants : Deux angles situés du même côté de la sécante, l’un entre les deux droites et l’autre à l’extérieur, « à la même place » autour de chacun des deux points d’intersection.
3. Propriétés
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes (et les angles correspondants) ont la même mesure.
Réciproquement, si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors elles sont parallèles.
4. Rédiger une démonstration
Deux angles alternes-internes formés par (d), (d′) et la sécante (s) mesurent chacun 54°. Les droites sont-elles parallèles ?
- On sait que les angles sont alternes-internes et ont la même mesure (54°).
- Or, si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors elles sont parallèles.
- Donc (d) et (d′) sont parallèles.
À retenir
- Complémentaires : 90° ; supplémentaires : 180° ; opposés par le sommet : égaux.
- Droites parallèles ⟹ angles alternes-internes égaux et angles correspondants égaux.
- Angles alternes-internes (ou correspondants) égaux ⟹ droites parallèles.
- En géométrie, la mesure sur la figure ne prouve rien : on démontre.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.