La distributivité permet de transformer une expression littérale sans changer sa valeur : la développer, la factoriser ou la réduire. C’est aussi un outil pour démontrer des propriétés vraies pour tous les nombres.
Objectifs
- Développer une expression de la forme k(a + b) ou k(a − b)
- Factoriser une expression du type ka + kb
- Réduire une expression de la forme ax + b
- Démontrer une propriété générale avec le calcul littéral
1. Développer et factoriser
k(a + b) = ka + kb
k(a − b) = ka − kb
- Développer, c’est transformer un produit en somme : de gauche à droite.
- Factoriser, c’est transformer une somme en produit : de droite à gauche, en repérant le facteur commun.
Exemples
- Développer : 4(x + 3) = 4 × x + 4 × 3 = 4x + 12
- Développer : 5(2a − 1) = 10a − 5
- Factoriser : 7x + 7y = 7(x + y)
- Factoriser : 3x + 12 = 3 × x + 3 × 4 = 3(x + 4)
2. Réduire une expression
Réduire, c’est écrire l’expression avec le moins de termes possible. On regroupe les termes en x entre eux et les nombres entre eux.
Réduire 2x + 7 + 4x − 3
- Termes en x : 2x + 4x = (2 + 4)x = 6x
- Nombres : 7 − 3 = 4
- Résultat : 6x + 4
3. Démontrer avec des lettres
Vérifier une propriété sur quelques exemples ne suffit pas. Avec une lettre, on prouve qu’elle est vraie pour tous les nombres.
La somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.
- On appelle n le plus petit. Les suivants sont n + 1 et n + 2.
- Somme : n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3
- On factorise : 3n + 3 = 3(n + 1)
La somme est égale à 3 fois un entier : c’est un multiple de 3, quel que soit n.
À retenir
- k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb.
- Développer : produit → somme. Factoriser : somme → produit.
- Réduire : on regroupe les termes en x et les nombres.
- Une démonstration littérale prouve une propriété pour tous les nombres.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.