Beaucoup de problèmes se ramènent à une équation ou à l’étude d’un signe. L’idée clé de ce chapitre : une expression factorisée se résout et s’étudie beaucoup plus facilement, grâce à la règle du produit nul et aux tableaux de signes.
Objectifs
- Résoudre une équation du premier degré
- Utiliser la propriété du produit nul et résoudre x² = a
- Résoudre une équation quotient en tenant compte des valeurs interdites
- Dresser le tableau de signes d’un produit ou d’un quotient
1. Équations du premier degré
On peut ajouter, soustraire un même nombre aux deux membres, ou les multiplier, diviser par un même nombre non nul : on obtient une équation équivalente.
Résoudre 3x − 5 = 2x + 4
- 3x − 2x = 4 + 5
- x = 9
S = {9}
Si a ≠ 0, l’équation ax + b = 0 a une unique solution : x = −.
2. Produit nul et équation x² = a
Propriété du produit nul : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0.
Résoudre (x − 2)(3x + 6) = 0
- x − 2 = 0 ou 3x + 6 = 0
- x = 2 ou x = −2
S = {−2 ; 2}
| Équation x² = a | Solutions |
|---|---|
| a > 0 | deux solutions : −√a et √a |
| a = 0 | une solution : 0 |
| a < 0 | aucune solution réelle (un carré est positif) |
3. Équations quotients
Un quotient n’existe que si B(x) ≠ 0 : les valeurs qui annulent B(x) sont les valeurs interdites. Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.
Résoudre = 3
- Valeur interdite : x = 1.
- Pour x ≠ 1 : 2x + 1 = 3(x − 1)
- 2x + 1 = 3x − 3, donc x = 4.
- 4 ≠ 1 : la solution est acceptable.
S = {4}
4. Tableaux de signes
Pour a ≠ 0, ax + b s’annule en − et est du signe de a à droite de cette valeur, du signe contraire à gauche. Pour un produit ou un quotient, on applique la règle des signes colonne par colonne.
| x | −∞ … −3 | −3 … 1 | 1 … +∞ |
|---|---|---|---|
| x + 3 | − | + | + |
| x − 1 | − | − | + |
| produit | + | − | + |
Le produit s’annule en −3 et en 1. Donc (x − 1)(x + 3) ≤ 0 ⟺ x ∈ [−3 ; 1].
À retenir
- A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0.
- x² = a : deux solutions ±√a si a > 0, aucune si a < 0.
- = 0 ⟺ A = 0 et B ≠ 0 ; toujours repérer les valeurs interdites.
- ax + b est du signe de a à droite de −.
- Tableau de signes : une ligne par facteur, règle des signes en bas.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.