Factoriser, c’est l’inverse de développer : on transforme une somme en produit. Le calcul littéral sert aussi à prouver qu’une propriété est vraie pour tous les nombres, ce que des essais numériques ne peuvent pas faire.
Objectifs
- Repérer un facteur commun dans une somme
- Factoriser une expression simple
- Tester une égalité pour une valeur donnée
- Utiliser un contre-exemple pour montrer qu’une égalité est fausse
- Prouver un résultat général avec des lettres
1. Factoriser avec un facteur commun
ka + kb = k(a + b) et ka − kb = k(a − b)
- 6x + 9 = 3 × 2x + 3 × 3 = 3(2x + 3)
- x² + 5x = x × x + 5 × x = x(x + 5)
- 4x² − 8x = 4x × x − 4x × 2 = 4x(x − 2)
2. Tester une égalité
Une égalité contenant une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d’autres. Pour la tester, on calcule séparément chaque membre pour une valeur donnée.
L’égalité 3x + 2 = 5x − 4 est-elle vraie pour x = 3 ? Pour x = 0 ?
- Pour x = 3 : 3 × 3 + 2 = 11 et 5 × 3 − 4 = 11. Les deux membres sont égaux.
- Pour x = 0 : 3 × 0 + 2 = 2 et 5 × 0 − 4 = −4. Ils sont différents.
L’égalité est vraie pour x = 3, mais fausse pour x = 0.
3. Contre-exemple
Pour prouver qu’une égalité n’est pas toujours vraie, il suffit de trouver une seule valeur pour laquelle elle est fausse : c’est un contre-exemple.
A-t-on (x + 1)² = x² + 1 pour tout nombre x ?
- Pour x = 2 : (2 + 1)² = 3² = 9.
- Et 2² + 1 = 4 + 1 = 5.
- 9 ≠ 5.
x = 2 est un contre-exemple : l’égalité n’est pas vraie pour tout x.
4. Prouver un résultat général
Prouver que la somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3.
- On note n le plus petit des trois entiers. Les suivants sont n + 1 et n + 2.
- Somme : n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3.
- On factorise : 3n + 3 = 3(n + 1).
La somme s’écrit 3 × (n + 1) avec n + 1 entier : c’est toujours un multiple de 3.
À retenir
- Factoriser : ka + kb = k(a + b). On vérifie en redéveloppant.
- Tester une égalité : calculer chaque membre séparément.
- Un seul contre-exemple suffit pour montrer qu’une égalité est fausse en général.
- Pour prouver qu’une propriété est toujours vraie, on utilise le calcul littéral.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.