Mathématiques · Quatrième

Exercices : calcul littéral : factoriser, tester une égalité, prouver

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Calcul littéral : factoriser, tester une égalité, prouver — S’entraîner

Feuille d’exercices

Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 8

Exercice 1 — Complète les trous.
Factorise.
6x + 9 = (2x + )
Exercice 2 — Complète les trous.
Factorise.
7x − 14 = 7(x − )
Exercice 3 — Coche la bonne réponse.
Une factorisation de x² + 5x est :
- 5x(x + 1)
- x(x + 5)
- x²(1 + 5x)
Exercice 4 — Complète les trous.
Factorise.
4x² − 8x = 4x(x − )
Exercice 5 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
L’égalité 2x + 3 = 5x est vraie pour toutes les valeurs de x.
VraiFaux
Exercice 6 — Coche la bonne réponse.
Pour x = 2, on trouve (x + 1)² = 9 et x² + 1 = 5. Que peut-on conclure ?
- L’égalité (x + 1)² = x² + 1 est vraie pour tout x.
- L’égalité (x + 1)² = x² + 1 n’est pas vraie pour tout x.
- On ne peut rien conclure.
Exercice 7 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Si une égalité est vraie pour x = 1, pour x = 2 et pour x = 3, alors elle est vraie pour tout nombre x.
VraiFaux
Exercice 8
Voici un programme de calcul : « Choisis un nombre. Ajoute 3. Multiplie le résultat par 2. Soustrais le double du nombre de départ. » Teste-le avec deux nombres, puis prouve que le résultat est toujours le même.

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Calcul littéral : factoriser, tester une égalité, prouver — S’entraîner

Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants

Exercice 1
Réponse : 3 · 3
3 divise 6 et 9 : c’est le facteur commun. 6x = 3 × 2x et 9 = 3 × 3.
Exercice 2
Réponse : 2
14 = 7 × 2, donc 7x − 14 = 7 × x − 7 × 2 = 7(x − 2).
Exercice 3
Réponse : x(x + 5)
x² = x × x et 5x = 5 × x : le facteur commun est x. Donc x² + 5x = x(x + 5). On vérifie : x × x + x × 5 = x² + 5x.
Exercice 4
Réponse : 2
4x² = 4x × x et 8x = 4x × 2 : le facteur commun est 4x.
Exercice 5
Réponse : Faux
Il suffit d’un contre-exemple : pour x = 0, 2 × 0 + 3 = 3 et 5 × 0 = 0. 3 ≠ 0, donc l’égalité n’est pas toujours vraie (elle n’est vraie que pour x = 1).
Exercice 6
Réponse : L’égalité (x + 1)² = x² + 1 n’est pas vraie pour tout x.
x = 2 est un contre-exemple : il suffit à prouver que l’égalité n’est pas toujours vraie.
Exercice 7
Réponse : Faux
Quelques essais ne suffisent jamais à prouver une propriété générale : une autre valeur pourrait être un contre-exemple. Il faut une démonstration avec le calcul littéral.
Exercice 8
Exemple de réponse : Avec 5 : 5 + 3 = 8 ; 8 × 2 = 16 ; 16 − 10 = 6. Avec −1 : −1 + 3 = 2 ; 2 × 2 = 4 ; 4 − (−2) = 6.
Preuve : on note x le nombre choisi. Le programme donne 2(x + 3) − 2x = 2x + 6 − 2x = 6.
Quel que soit le nombre choisi, le résultat est toujours 6.
Les essais permettent de conjecturer ; le calcul littéral permet de prouver.
- Tu as testé le programme avec deux nombres.
- Tu as traduit le programme par une expression en x.
- Tu as développé et réduit pour obtenir 6.

Exercices corrigés : 0 / 8

Exercice 1 sur 8
Texte à trous
Factorise.
6x + 9 = (2x + )
Exercice 2 sur 8
Texte à trous
Factorise.
7x − 14 = 7(x − )
Exercice 3 sur 8
QCM
Une factorisation de x² + 5x est :
Choisis une réponse
5x(x + 1)x(x + 5)x²(1 + 5x)
Exercice 4 sur 8
Texte à trous
Factorise.
4x² − 8x = 4x(x − )
Exercice 5 sur 8
Vrai ou faux
L’égalité 2x + 3 = 5x est vraie pour toutes les valeurs de x.
Vrai ou faux ?
VraiFaux
Exercice 6 sur 8
QCM
Pour x = 2, on trouve (x + 1)² = 9 et x² + 1 = 5. Que peut-on conclure ?
Choisis une réponse
L’égalité (x + 1)² = x² + 1 est vraie pour tout x.L’égalité (x + 1)² = x² + 1 n’est pas vraie pour tout x.On ne peut rien conclure.
Exercice 7 sur 8
Vrai ou faux
Si une égalité est vraie pour x = 1, pour x = 2 et pour x = 3, alors elle est vraie pour tout nombre x.
Vrai ou faux ?
VraiFaux
Exercice 8 sur 8
Question ouverte
Voici un programme de calcul : « Choisis un nombre. Ajoute 3. Multiplie le résultat par 2. Soustrais le double du nombre de départ. » Teste-le avec deux nombres, puis prouve que le résultat est toujours le même.
Ta réponse

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