Les fonctions linéaires traduisent les situations de proportionnalité ; les fonctions affines les généralisent (par exemple un tarif avec abonnement). Leurs représentations graphiques sont des droites.
Objectifs
- Reconnaître une fonction linéaire ou affine
- Faire le lien entre fonction linéaire et proportionnalité
- Représenter graphiquement une fonction affine
- Déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs
1. Définitions
Fonction linéaire : Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x) = ax, où a est un nombre fixé, appelé coefficient.
Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres fixés.
- Une fonction linéaire est une fonction affine particulière (b = 0).
- Si a = 0, f(x) = b : la fonction est constante.
- f(x) = x² ou f(x) = ne sont ni linéaires ni affines.
2. Représentation graphique
| Fonction | Représentation graphique |
|---|---|
| linéaire f(x) = ax | droite passant par l’origine du repère |
| affine f(x) = ax + b | droite passant par le point (0 ; b) |
| constante f(x) = b | droite parallèle à l’axe des abscisses |
- a est le coefficient directeur : quand x augmente de 1, f(x) augmente de a (ou diminue si a < 0).
- b est l’ordonnée à l’origine : c’est f(0).
- Pour tracer la droite, il suffit de calculer deux points.
3. Déterminer une fonction affine
a =
f est affine, f(1) = 5 et f(4) = 11. Déterminer f(x).
- a = = = 2
- f(1) = 5 donne 2 × 1 + b = 5, donc b = 3.
f(x) = 2x + 3
f est linéaire et f(4) = 10. Déterminer f(x).
- f(x) = ax, donc a × 4 = 10.
- a = 10 ÷ 4 = 2,5
f(x) = 2,5x
4. Modéliser une situation
Une salle de sport propose un abonnement de 15 € puis 2,50 € par séance.
- Le prix pour x séances est P(x) = 2,5x + 15 : c’est une fonction affine.
- Pour 12 séances : P(12) = 2,5 × 12 + 15 = 45.
12 séances coûtent 45 €.
À retenir
- Linéaire : f(x) = ax (proportionnalité). Affine : f(x) = ax + b.
- La représentation graphique est une droite ; elle passe par l’origine si et seulement si la fonction est linéaire.
- a = coefficient directeur ; b = ordonnée à l’origine = f(0).
- a = .
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.