Une fonction associe à chaque nombre un unique nombre. C’est l’outil de base pour modéliser une grandeur qui dépend d’une autre : une distance en fonction du temps, un coût en fonction d’une quantité… On la décrit par une formule, un tableau de valeurs ou une courbe.
Objectifs
- Utiliser le vocabulaire image, antécédent et la notation f(x)
- Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction
- Savoir si un point appartient à une courbe
- Résoudre graphiquement f(x) = k, f(x) < k et f(x) = g(x)
1. Vocabulaire
Fonction : Une fonction f définie sur un ensemble D associe à chaque réel x de D un unique réel noté f(x). On note f : x ↦ f(x).
- f(x) est l’image de x par f. Un nombre a une seule image.
- Si f(a) = b, alors a est un antécédent de b. Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
f(x) = x² − 4
- Image de 3 : f(3) = 9 − 4 = 5.
- Antécédents de 0 : x² − 4 = 0 ⟺ x² = 4 ⟺ x = −2 ou x = 2.
- −5 n’a pas d’antécédent, car x² − 4 ≥ −4.
2. Ensemble de définition
L’ensemble de définition D est l’ensemble des réels qui ont une image. Il peut être imposé par le contexte (une longueur est positive) ou par la formule (on ne divise pas par 0).
f(x) =
- Le dénominateur s’annule pour x = 5.
- D = ]−∞ ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[
Aire d’un carré de côté x : A(x) = x²
Un côté est une longueur positive : on étudie A sur [0 ; +∞[.
3. Courbe représentative
Courbe représentative : Dans un repère, la courbe 𝒞f est l’ensemble des points M(x ; y) avec x ∈ D et y = f(x). On dit que y = f(x) est une équation de 𝒞f.
Le point A(2 ; 7) appartient-il à la courbe de f(x) = 3x + 1 ?
- f(2) = 3 × 2 + 1 = 7, qui est l’ordonnée de A.
Oui, A ∈ 𝒞f.
4. Résolutions graphiques
| Problème | Lecture graphique |
|---|---|
| f(x) = k | abscisses des points de 𝒞f d’ordonnée k (intersection avec la droite y = k) |
| f(x) < k | abscisses des points de 𝒞f situés strictement sous la droite y = k |
| f(x) = g(x) | abscisses des points d’intersection de 𝒞f et 𝒞g |
| f(x) < g(x) | abscisses des points où 𝒞f est strictement en dessous de 𝒞g |
À retenir
- Un nombre a une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).
- Ensemble de définition : exclure les valeurs qui annulent un dénominateur ou qui n’ont pas de sens dans le contexte.
- M(x ; y) ∈ 𝒞f ⟺ x ∈ D et y = f(x).
- Les solutions de f(x) = k sont des abscisses.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.