Dans un triangle, certaines droites jouent un rôle particulier : les hauteurs servent à calculer l’aire, les médianes partagent le triangle en deux parts de même aire, et les médiatrices donnent le centre du cercle qui passe par les trois sommets.
Objectifs
- Définir et tracer les hauteurs d’un triangle
- Calculer l’aire d’un triangle
- Définir et tracer les médianes ; démontrer qu’une médiane partage l’aire en deux
- Utiliser les médiatrices et le cercle circonscrit, notamment dans les triangles particuliers
1. Les hauteurs
Hauteur : Dans un triangle, une hauteur est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).
Un triangle a trois hauteurs. Elles sont concourantes : elles se coupent en un même point.
2. L’aire d’un triangle
Aire =
Pourquoi ? En recopiant le triangle, on forme un parallélogramme de même base et de même hauteur ; le triangle en est la moitié.
Triangle de base 8 cm et de hauteur relative 5 cm
- Aire = 8 × 5 ÷ 2
- = 40 ÷ 2 = 20
Aire = 20 cm²
3. Les médianes
Médiane : Segment (ou droite) qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Démontrer qu’une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire
- Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC]. On compare ABI et AIC.
- Leurs bases [BI] et [IC] ont la même longueur, car I est le milieu de [BC].
- Ils ont la même hauteur : la distance de A à la droite (BC).
- Même base et même hauteur : ils ont la même aire.
4. Médiatrices et cercle circonscrit
Médiatrice : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Tout point de la médiatrice est à égale distance des deux extrémités.
Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un point O, équidistant des trois sommets : c’est le centre du cercle circonscrit (le cercle qui passe par les trois sommets).
- Triangle isocèle en A : la médiatrice de [BC] passe par A ; elle est aussi la hauteur et la médiane issues de A.
- Triangle équilatéral : pour chaque sommet, hauteur, médiane et médiatrice du côté opposé sont confondues.
- Triangle rectangle : le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
À retenir
- Hauteur : passe par un sommet, perpendiculaire au côté opposé ; les trois hauteurs sont concourantes.
- Aire du triangle = base × hauteur ÷ 2.
- Médiane : du sommet au milieu du côté opposé ; elle partage l’aire en deux.
- Les médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit ; dans un triangle rectangle, c’est le milieu de l’hypoténuse.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.