Un ballon, une bille, la Terre (en première approximation) : ce sont des sphères ou des boules. En 3e, tu apprends à calculer leur aire et leur volume, à étudier leurs sections par un plan, et à te repérer à leur surface.
Objectifs
- Distinguer sphère et boule
- Calculer l’aire d’une sphère et le volume d’une boule
- Déterminer la section d’une sphère par un plan
- Se repérer sur la Terre avec la latitude et la longitude
- Se repérer dans un pavé droit
1. Sphère et boule
Sphère : La sphère de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM = r. C’est une surface (comme l’enveloppe d’un ballon).
Boule : La boule de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M tels que OM ≤ r. C’est un solide « plein » (comme une bille).
Aire de la sphère : A = 4πr²
Volume de la boule : V = πr³
Une boule de rayon 6 cm
- V = × π × 6³ = × π × 216 = 288π ≈ 904,8 cm³
- Aire de la sphère : A = 4 × π × 6² = 144π ≈ 452,4 cm²
2. Section d’une sphère par un plan
La section d’une sphère par un plan qui la coupe est un cercle. Si le plan passe par le centre O, on obtient un grand cercle, de même rayon que la sphère.
Si d est la distance entre le centre O et le plan, et r′ le rayon du cercle de section, le théorème de Pythagore donne :
r′² = r² − d²
Sphère de rayon 5 cm, plan situé à 3 cm du centre
- r′² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16
- r′ = √16 = 4
La section est un cercle de rayon 4 cm.
3. Se repérer sur la Terre
On assimile la Terre à une sphère. Un point est repéré par deux angles :
- la latitude, de 0° à 90° Nord ou Sud, mesurée à partir de l’équateur (latitude 0°) ;
- la longitude, de 0° à 180° Est ou Ouest, mesurée à partir du méridien de Greenwich (longitude 0°).
- Un méridien est un demi-cercle reliant le pôle Nord au pôle Sud.
- Un parallèle est un cercle formé des points de même latitude ; l’équateur est le plus grand.
- Les pôles ont pour latitude 90° N et 90° S.
4. Se repérer dans un pavé droit
Dans un pavé droit, on choisit un sommet comme origine et trois arêtes issues de ce sommet comme axes. Chaque point est alors repéré par trois nombres : son abscisse, son ordonnée et son altitude, notés (x ; y ; z).
Exemple
Dans un pavé ABCDEFGH de dimensions 4 × 3 × 2 avec A pour origine, le sommet opposé à A a pour coordonnées (4 ; 3 ; 2).
À retenir
- Sphère : OM = r (surface) ; boule : OM ≤ r (solide).
- Aire de la sphère : 4πr² ; volume de la boule : πr³.
- La section d’une sphère par un plan est un cercle de rayon r′ avec r′² = r² − d².
- Latitude : Nord/Sud depuis l’équateur ; longitude : Est/Ouest depuis le méridien de Greenwich.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.