Dans un triangle rectangle, la trigonométrie relie les angles aigus aux longueurs des côtés. Avec le cosinus, le sinus et la tangente, tu peux calculer une longueur à partir d’un angle, ou un angle à partir de deux longueurs.
Objectifs
- Repérer l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à un angle
- Connaître les formules du cosinus, du sinus et de la tangente
- Calculer une longueur dans un triangle rectangle
- Calculer la mesure d’un angle avec la calculatrice
1. Vocabulaire
Dans un triangle ABC rectangle en A, pour l’angle aigu ABC (sommet B) :
- l’hypoténuse est [BC], le côté opposé à l’angle droit ;
- le côté adjacent à l’angle B est [AB] (il touche B et n’est pas l’hypoténuse) ;
- le côté opposé à l’angle B est [AC] (il ne touche pas B).
2. Les trois formules
cos B = =
sin B = =
tan B = =
Pour un angle aigu, le cosinus et le sinus sont compris entre 0 et 1 (l’hypoténuse est le plus grand côté).
3. Calculer une longueur
ABC est rectangle en A, BC = 8 cm et l’angle B mesure 35°. Calculer AB (au centième).
- On connaît l’hypoténuse et on cherche le côté adjacent à B : on utilise le cosinus.
- cos 35° =
- AB = 8 × cos 35° ≈ 6,553
AB ≈ 6,55 cm
ABC est rectangle en A, AB = 6 cm et l’angle C mesure 50°. Calculer BC (au dixième).
- [AB] est opposé à l’angle C, [BC] est l’hypoténuse : on utilise le sinus.
- sin 50° =
- BC = 6 ÷ sin 50° ≈ 7,83
BC ≈ 7,8 cm
4. Calculer un angle
ABC est rectangle en A, AB = 5 cm et AC = 3 cm. Calculer l’angle B (au degré).
- Par rapport à B : [AC] est opposé, [AB] est adjacent. On utilise la tangente.
- tan B = = 0,6
- Avec la touche « tan−1 » (ou « Arctan ») de la calculatrice : B ≈ 30,96°
L’angle B mesure environ 31°.
À retenir
- Dans un triangle rectangle : cos = adjacent ÷ hypoténuse ; sin = opposé ÷ hypoténuse ; tan = opposé ÷ adjacent.
- On choisit la formule selon les côtés connus et cherchés.
- Pour retrouver un angle : touches cos−1, sin−1 ou tan−1.
- Calculatrice en mode degrés.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.