Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs dans deux triangles formés par deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles. Sa réciproque permet, elle, de démontrer que deux droites sont parallèles.
Objectifs
- Reconnaître une configuration de Thalès (triangles emboîtés ou papillon)
- Écrire les rapports égaux et calculer une longueur
- Utiliser la réciproque pour prouver un parallélisme
- Prouver que deux droites ne sont pas parallèles
1. Les deux configurations
Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On rencontre deux figures :
- Triangles emboîtés : M est sur le segment [AB] et N sur le segment [AC] ; le petit triangle AMN est « dans » le grand triangle ABC.
- Papillon : A est entre M et B, et entre N et C ; les deux triangles sont de part et d’autre du point A.
2. Le théorème de Thalès
Si les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A (les points A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part sont alignés) et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :
= =
M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) // (BC), AM = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 8 cm, BC = 6 cm. Calculer AN et MN.
- Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et (MN) // (BC), donc d’après le théorème de Thalès : = = .
- = =
- AN = 3 × 8 ÷ 5 = 4,8 cm
- MN = 3 × 6 ÷ 5 = 3,6 cm
AN = 4,8 cm et MN = 3,6 cm.
Configuration papillon : (AB) // (CD), les droites (AD) et (BC) se coupent en O, OA = 4 cm, OD = 6 cm, AB = 5 cm. Calculer CD.
- Les points A, O, D et B, O, C sont alignés et (AB) // (CD).
- Donc = = , soit = .
- DC = 5 × 6 ÷ 4 = 7,5
CD = 7,5 cm.
3. La réciproque
Si les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, si les points A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part sont alignés dans le même ordre, et si = , alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, AM = 2,4, AB = 6, AN = 3, AC = 7,5. (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
- = 2,4 ÷ 6 = 0,4
- = 3 ÷ 7,5 = 0,4
- Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC).
À retenir
- Thalès s’applique avec deux droites sécantes et deux droites parallèles.
- = = : petit triangle en haut, grand triangle en bas.
- Réciproque : rapports égaux + même ordre d’alignement ⟹ droites parallèles.
- Rapports différents ⟹ droites non parallèles.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.