Écrire 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 est long ! La notation puissance permet d’écrire ce produit de façon très courte : 210. Elle sert dans de nombreux domaines : informatique, sciences, croissance d’une population…
Objectifs
- Comprendre et utiliser la notation aⁿ
- Calculer une puissance d’un nombre positif ou négatif
- Déterminer le signe d’une puissance
- Respecter les priorités de calcul avec les puissances
1. Définition
Puissance : a est un nombre et n un entier supérieur ou égal à 1. Le produit de n facteurs tous égaux à a se note aⁿ et se lit « a puissance n » ou « a exposant n ».
aⁿ = a × a × … × a (n facteurs)
- 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
- a² se lit « a au carré », a³ se lit « a au cube ».
- Par convention : a¹ = a et a⁰ = 1 (pour a non nul).
2. Puissances d’un nombre négatif
Une puissance d’un nombre négatif est un produit de facteurs négatifs : on applique la règle des signes.
- Exposant pair ⟹ résultat positif : (−2)⁴ = 16
- Exposant impair ⟹ résultat négatif : (−2)³ = −8
3. Priorités opératoires
Les puissances sont prioritaires sur les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions (mais pas sur les parenthèses).
Calculer A = 5 + 2² × 3.
- On calcule d’abord la puissance : 2² = 4.
- A = 5 + 4 × 3
- A = 5 + 12 = 17
A = 17
Calculer B = (5 + 2)² − 3 × 2³.
- Parenthèses : 5 + 2 = 7.
- Puissances : 7² = 49 et 2³ = 8.
- B = 49 − 3 × 8 = 49 − 24 = 25
B = 25
4. Un exemple concret
Une population de bactéries double toutes les heures. On part d’une bactérie. Combien y en a-t-il au bout de 10 heures ?
- Au bout d’1 heure : 2 ; de 2 heures : 2 × 2 = 2² ; de 3 heures : 2³…
- Au bout de 10 heures : 210
- 210 = 1 024
Il y a 1 024 bactéries au bout de 10 heures.
À retenir
- aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a.
- a¹ = a et a⁰ = 1 (a non nul).
- Un nombre négatif élevé à une puissance paire donne un résultat positif, à une puissance impaire un résultat négatif.
- Ordre des calculs : parenthèses, puissances, × et ÷, puis + et −.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.