Les nombres premiers sont les « briques » des nombres entiers : tout entier supérieur ou égal à 2 peut s’écrire comme un produit de nombres premiers. Cette écriture est très utile pour simplifier des fractions.
Objectifs
- Utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10
- Reconnaître un nombre premier
- Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
- Utiliser cette décomposition pour simplifier une fraction
1. Diviseurs et critères de divisibilité
Diviseur : a et b étant des entiers (b non nul), b est un diviseur de a si la division de a par b tombe juste (reste 0). On dit aussi que a est un multiple de b.
| Un entier est divisible par… | si… | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 | 538 |
| 3 | la somme de ses chiffres est divisible par 3 | 411 (4 + 1 + 1 = 6) |
| 5 | son chiffre des unités est 0 ou 5 | 745 |
| 9 | la somme de ses chiffres est divisible par 9 | 8 019 (8 + 0 + 1 + 9 = 18) |
| 10 | son chiffre des unités est 0 | 1 230 |
2. Nombres premiers
Nombre premier : Un nombre entier est premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Les nombres premiers inférieurs à 30 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.
3. Décomposer en produit de facteurs premiers
On divise successivement par les nombres premiers dans l’ordre (2, puis 3, puis 5…), tant que c’est possible.
Décomposer 60.
- 60 ÷ 2 = 30
- 30 ÷ 2 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 ÷ 5 = 1
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
Décomposer 126.
- 126 ÷ 2 = 63
- 63 ÷ 3 = 21
- 21 ÷ 3 = 7
- 7 ÷ 7 = 1
126 = 2 × 3² × 7
4. Simplifier une fraction
Simplifier .
- 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7
- =
- On simplifie par les facteurs communs 2, 3 et 7.
=
À retenir
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
- 1 n’est pas premier ; 2 est le seul nombre premier pair.
- Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers.
- La décomposition permet de repérer les facteurs communs pour simplifier une fraction.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.