Exercices : nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

Exercice 1

Réponse : 53

51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 et 91 = 7 × 13. En revanche 53 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 (et 11² = 121 > 53) : il est premier.

Exercice 2

Réponse : Faux

Un nombre premier a exactement deux diviseurs. 1 n’en a qu’un seul (lui-même) : il n’est pas premier.

Exercice 3

Réponse : Vrai

Tout autre nombre pair est divisible par 2 en plus de 1 et de lui-même : il a donc au moins trois diviseurs.

Exercice 4

Réponse : 3

On décompose 72 en divisant par 2 tant que possible.

1. 72 ÷ 2 = 36 ; 36 ÷ 2 = 18 ; 18 ÷ 2 = 9
2. 9 = 3²
3. 72 = 2³ × 3², donc n = 3

Exercice 5

Réponse : 11

On décompose 231.

1. 2 + 3 + 1 = 6 : 231 est divisible par 3, 231 ÷ 3 = 77
2. 77 = 7 × 11
3. 231 = 3 × 7 × 11 : le plus grand facteur premier est 11.

Exercice 6

Réponse : 1 → C · 2 → D · 3 → A · 4 → B

On vérifie en recalculant : 2² × 3 = 12, 2 × 3² = 18, 2 × 3 × 5 = 30 et 2 × 5² = 50.

Exercice 7

Réponse : 3/5

On décompose numérateur et dénominateur, puis on simplifie par les facteurs communs.

1. 90 = 2 × 3² × 5 et 150 = 2 × 3 × 5²
2. Facteurs communs : 2, 3 et 5 (produit 30)
3. 90150 = 35

Exercice 8

Exemple de réponse : 1 001 n’est divisible ni par 2 (il est impair), ni par 3 (1 + 0 + 0 + 1 = 2), ni par 5.
En revanche 1 001 ÷ 7 = 143 : 7 est un diviseur de 1 001 différent de 1 et de 1 001, donc 1 001 n’est pas premier.
143 = 11 × 13, donc 1 001 = 7 × 11 × 13.

Pour prouver qu’un nombre n’est pas premier, il suffit de trouver un diviseur différent de 1 et de lui-même.

• Tu as trouvé un diviseur autre que 1 et 1 001.
• Tu as expliqué pourquoi cela prouve que 1 001 n’est pas premier.
• Ta décomposition ne contient que des nombres premiers.