Le parallélogramme est un quadrilatère aux propriétés très riches. Le rectangle, le losange et le carré en sont des cas particuliers. Leurs propriétés servent à construire et à démontrer la nature d’un quadrilatère.
Objectifs
- Définir un parallélogramme et le construire
- Connaître ses propriétés (côtés, diagonales, angles)
- Utiliser une propriété caractéristique pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
- Reconnaître rectangle, losange et carré par leurs diagonales
1. Définition et propriétés
Parallélogramme : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Si ABCD est un parallélogramme, alors :
- ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu (ce point est son centre de symétrie) ;
- ses côtés opposés ont la même longueur : AB = CD et AD = BC ;
- ses angles opposés ont la même mesure.
2. Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
Ces propriétés sont caractéristiques : elles suffisent à prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme.
- Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c’est un parallélogramme (définition).
- Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, c’est un parallélogramme.
- Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, c’est un parallélogramme.
Construire un parallélogramme ABCD connaissant A, B et C
- Placer O, le milieu de [AC].
- Construire D, le symétrique de B par rapport à O.
- Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu O : ABCD est un parallélogramme.
3. Les parallélogrammes particuliers
| Figure | Définition | Diagonales |
|---|---|---|
| Rectangle | quadrilatère avec quatre angles droits | même milieu et même longueur |
| Losange | quadrilatère avec quatre côtés de même longueur | même milieu et perpendiculaires |
| Carré | à la fois rectangle et losange | même milieu, même longueur et perpendiculaires |
- Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.
- Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
À retenir
- Parallélogramme : côtés opposés parallèles deux à deux.
- Diagonales de même milieu ⟺ parallélogramme.
- Diagonales de même longueur : rectangle ; perpendiculaires : losange ; les deux : carré.
- Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.