Après la symétrie axiale (un pliage), voici la symétrie centrale : on fait tourner la figure d’un demi-tour autour d’un point. On l’observe dans des rosaces, des pavages ou certaines lettres comme N, S ou Z.
Objectifs
- Définir le symétrique d’un point par rapport à un point
- Construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une figure
- Connaître les propriétés de conservation de la symétrie centrale
- Reconnaître une figure ayant un centre de symétrie
1. Définition
Symétrique d’un point : Le symétrique du point M par rapport au point O est le point M′ tel que O est le milieu du segment [MM′]. Le symétrique de O est O lui-même.
Transformer une figure par la symétrie de centre O revient à lui faire faire un demi-tour (une rotation de 180°) autour de O.
2. Construire le symétrique d’un point
- Tracer la demi-droite [MO).
- Avec le compas, reporter la longueur OM de l’autre côté de O.
- On obtient M′ : M, O et M′ sont alignés et OM′ = OM.
Dans un repère, le symétrique de A(x ; y) par rapport à l’origine est A′(−x ; −y). Par exemple, le symétrique de A(3 ; −2) est A′(−3 ; 2).
3. Propriétés
- Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.
- Le symétrique d’une droite est une droite qui lui est parallèle.
- La symétrie centrale conserve les angles, les aires et l’alignement.
- Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique du centre.
4. Centre de symétrie d’une figure
Le point O est un centre de symétrie d’une figure si la figure est sa propre image par la symétrie de centre O.
| Figure | Centre de symétrie ? |
|---|---|
| Parallélogramme | Oui : le point d’intersection des diagonales |
| Cercle | Oui : son centre |
| Segment | Oui : son milieu |
| Triangle | Non, jamais |
À retenir
- M′ symétrique de M par rapport à O ⟺ O milieu de [MM′].
- La symétrie centrale est un demi-tour autour de O.
- Elle conserve longueurs, angles, aires et alignement ; une droite a pour image une droite parallèle.
- Le parallélogramme a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.