Quand on trace, dans un triangle, une droite parallèle à l’un des côtés, on obtient un petit triangle dont les côtés sont proportionnels à ceux du grand. Le théorème de Thalès traduit cette propriété et permet de calculer des longueurs.
Objectifs
- Reconnaître la configuration de Thalès dans un triangle
- Écrire l’égalité des trois rapports
- Calculer une longueur avec le produit en croix
- Rédiger correctement l’application du théorème
1. La configuration
On considère un triangle ABC, un point M du côté [AB] et un point N du côté [AC], tels que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Le triangle AMN est une « réduction » du triangle ABC.
2. L’énoncé
Dans un triangle ABC, si M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC), alors :
= =
3. Calculer une longueur
ABC est un triangle, M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) // (BC). AM = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 7 cm, BC = 6 cm. Calculer AN et MN.
- Dans le triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). D’après le théorème de Thalès :
- = = , soit = = .
- AN = = = 4,2
- MN = = = 3,6
AN = 4,2 cm et MN = 3,6 cm.
4. Calculer une longueur « en bas »
Même configuration avec AM = 2 cm, AB = 8 cm et AC = 12 cm. Calculer NC.
- D’après le théorème de Thalès : = , soit = .
- AN = = 3
- N ∈ [AC], donc NC = AC − AN = 12 − 3 = 9.
NC = 9 cm.
À retenir
- Hypothèses : M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC).
- Conclusion : = = .
- On utilise deux rapports et le produit en croix.
- Les longueurs du petit triangle sont au numérateur, celles du grand au dénominateur.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.