Une transformation du plan déplace ou déforme une figure selon une règle précise. Après les symétries et la translation, tu étudies en 3e la rotation, qui fait tourner une figure autour d’un point, et l’homothétie, qui l’agrandit ou la réduit à partir d’un point.
Objectifs
- Reconnaître les transformations étudiées au collège
- Construire l’image d’un point par une homothétie de rapport positif ou négatif
- Connaître l’effet d’une homothétie sur les longueurs, les angles et les aires
- Faire le lien entre homothétie et théorème de Thalès
1. Les transformations qui conservent les longueurs
| Transformation | Définie par | Effet |
|---|---|---|
| symétrie axiale | un axe (une droite) | retournement de la figure autour de l’axe |
| symétrie centrale | un centre O | demi-tour autour de O |
| translation | une direction, un sens et une longueur | glissement de la figure |
| rotation | un centre, un angle et un sens | la figure tourne autour du centre |
Rotation de centre O et d’angle α : L’image d’un point M (distinct de O) est le point M′ tel que OM′ = OM et que l’angle MOM′ mesure α, dans le sens de rotation choisi (sens des aiguilles d’une montre ou sens inverse). Le centre O est sa propre image.
Ces quatre transformations conservent les longueurs, les angles, les aires et l’alignement : la figure image est superposable à la figure de départ.
2. L’homothétie
Homothétie de centre O et de rapport k (k ≠ 0) : L’image d’un point M est le point M′ tel que O, M et M′ sont alignés et OM′ = |k| × OM, avec :
– si k > 0, M′ est du même côté que M par rapport à O ;
– si k < 0, M′ est de l’autre côté de O.
|k| désigne la distance à zéro de k (le nombre k sans son signe) : |−3| = 3 et |2| = 2.
Exemples
- k = 2 : M′ est sur la demi-droite [OM) et OM′ = 2 × OM (agrandissement).
- k = 0,5 : M′ est sur [OM] et OM′ = 0,5 × OM (réduction).
- k = −3 : M′ est sur la droite (OM), de l’autre côté de O, et OM′ = 3 × OM.
3. Propriétés de l’homothétie
- Elle conserve les angles, l’alignement et le parallélisme.
- Elle multiplie les longueurs par |k|.
- Elle multiplie les aires par k².
- Si |k| > 1, c’est un agrandissement ; si |k| < 1, une réduction.
Un triangle de périmètre 12 cm et d’aire 5 cm² subit une homothétie de rapport −3.
- Longueurs × 3 : périmètre = 3 × 12 = 36 cm.
- Aires × (−3)² = 9 : aire = 9 × 5 = 45 cm².
À retenir
- Symétries, translation, rotation conservent longueurs, angles et aires.
- Homothétie de centre O, rapport k : O, M, M′ alignés et OM′ = |k| × OM.
- k > 0 : même côté ; k < 0 : de l’autre côté de O ; k = −1 : symétrie centrale.
- Longueurs × |k|, aires × k², angles conservés.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.