Quel que soit le triangle, petit ou grand, la somme de ses trois angles est toujours la même : 180°. Cette propriété se démontre, et elle permet de calculer des angles sans rapporteur.
Objectifs
- Connaître et démontrer la somme des angles d’un triangle
- Calculer un angle dans un triangle quelconque ou particulier
- Construire un triangle à partir de données partielles
- Savoir si un triangle est constructible à partir de trois longueurs
1. La somme des angles d’un triangle
Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
Démonstration
- Soit ABC un triangle. On trace la droite (d) passant par A et parallèle à (BC).
- Avec la sécante (AB), l’angle formé en A entre (d) et [AB] et l’angle ABC sont alternes-internes. Les droites étant parallèles, ils sont égaux.
- De même avec la sécante (AC) : l’angle formé en A entre (d) et [AC] est égal à l’angle ACB.
- En A, ces deux angles et l’angle BAC forment un angle plat : leur somme vaut 180°.
Donc l’angle BAC + l’angle ABC + l’angle ACB = 180°.
Calculer le troisième angle
- Dans ABC, l’angle en A mesure 48° et l’angle en B mesure 75°.
- Angle en C : 180 − (48 + 75) = 180 − 123 = 57°
2. Triangles particuliers
- Triangle équilatéral : ses trois angles mesurent 60° (180 ÷ 3).
- Triangle isocèle : ses deux angles à la base ont la même mesure. Si l’angle au sommet principal mesure 40°, chaque angle à la base mesure (180 − 40) ÷ 2 = 70°.
- Triangle rectangle : ses deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut 90°).
3. Construire un triangle
| On connaît… | Instruments | Méthode |
|---|---|---|
| les trois longueurs | règle et compas | tracer un côté, puis deux arcs de cercle de rayons les deux autres longueurs |
| deux longueurs et l’angle entre elles | règle et rapporteur | tracer un côté, l’angle, puis reporter la seconde longueur |
| une longueur et deux angles | règle et rapporteur | tracer le côté, puis un angle à chaque extrémité |
4. Trois longueurs : le triangle existe-t-il ?
On compare la plus grande longueur à la somme des deux autres (c’est l’inégalité triangulaire) :
- si la plus grande est strictement inférieure à la somme des deux autres, le triangle est constructible ;
- si elle est égale à cette somme, les trois points sont alignés (triangle « aplati ») ;
- si elle est supérieure, le triangle n’est pas constructible.
Exemple
- 3 cm, 4 cm, 8 cm : 3 + 4 = 7 < 8, impossible.
- 5 cm, 7 cm, 12 cm : 5 + 7 = 12, points alignés.
- 4 cm, 5 cm, 6 cm : 4 + 5 = 9 > 6, constructible.
À retenir
- Somme des angles d’un triangle : 180°.
- Équilatéral : 60° ; isocèle : angles à la base égaux ; rectangle : angles aigus complémentaires.
- Trois longueurs : la plus grande doit être inférieure à la somme des deux autres.
- On démontre la somme des angles avec une parallèle et des angles alternes-internes.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.