Deux triangles semblables ont la même forme, mais pas forcément la même taille : l’un est un agrandissement ou une réduction de l’autre. On les reconnaît grâce à leurs angles ou grâce à leurs longueurs.
Objectifs
- Connaître la définition de triangles semblables
- Reconnaître des triangles semblables à partir de leurs angles
- Reconnaître des triangles semblables à partir de leurs longueurs
- Calculer une longueur ou un angle dans des triangles semblables
1. Définition
Triangles semblables : Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont égaux deux à deux.
Un triangle a des angles de 40° et 60°, un autre des angles de 40° et 80°. Sont-ils semblables ?
- Troisième angle du premier : 180° − 40° − 60° = 80°.
- Le premier a donc des angles de 40°, 60° et 80°.
- Troisième angle du second : 180° − 40° − 80° = 60°.
Les deux triangles ont des angles de 40°, 60° et 80° : ils sont semblables.
2. Longueurs proportionnelles
Si deux triangles sont semblables, les longueurs de leurs côtés correspondants (opposés aux angles égaux) sont proportionnelles. Réciproquement, si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, ces triangles sont semblables.
Le triangle ABC a pour côtés 4 cm, 5 cm et 6 cm ; le triangle DEF a pour côtés 6 cm, 7,5 cm et 9 cm. Sont-ils semblables ?
- On range les côtés et on calcule les quotients : = 1,5 ; = 1,5 ; = 1,5.
- Les quotients sont égaux : les longueurs sont proportionnelles.
Les triangles sont semblables : DEF est un agrandissement de ABC de rapport 1,5.
3. Calculer une longueur
Les triangles ABC et DEF sont semblables avec AB = 3, BC = 4, AC = 5 et DE = 6, EF = 8 (les côtés se correspondent dans cet ordre). Calculer DF.
- Rapport d’agrandissement : = = 2.
- DF = AC × 2 = 5 × 2 = 10.
DF = 10.
À retenir
- Semblables ⟺ angles égaux deux à deux.
- Deux angles égaux suffisent (la somme des angles vaut 180°).
- Semblables ⟺ longueurs des côtés correspondants proportionnelles.
- Le coefficient de proportionnalité est le rapport d’agrandissement ou de réduction.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.