Exercice 1 sur 10
Vrai ou fauxDans une matrice de transition, la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1.
Aide d’ULU pour cet exerciceMathématiques expertes · Terminale
Exercices : chaînes de Markov et suites de matrices
24 exercices avec correction détaillée, en 3 séries. Aucune inscription : ta progression reste sur ton appareil.
ULUMINE · Mathématiques expertes · Terminale
Chaînes de Markov et suites de matrices — S’entraîner
Feuille d’exercices
Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 10
Distributions écrites en ligne : π = (a b) signifie P(état 1) = a et P(état 2) = b.
Exercice 1 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Dans une matrice de transition, la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1.
VraiFaux
Exercice 2
P = (0,9 0,1 ; 0,2 0,8) et π₀ = (1 0). Calcule la première coordonnée de π₂.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3
Avec P = (0,9 0,1 ; 0,2 0,8), la distribution invariante est (a b). Donne a arrondi au millième.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4 — Coche la bonne réponse.
Quelle relation lie deux distributions successives ?
- πₙ₊₁ = Pπₙ
- πₙ₊₁ = πₙP
- πₙ₊₁ = πₙ + P
- πₙ₊₁ = Pⁿπ₀
Exercice 5
P = (0,9 0,1 ; 0,2 0,8) sur les états A, B. Calcule la probabilité de passer de B à A en deux étapes.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6 — Relie chaque élément de gauche à celui de droite.
Associe chaque notion à sa description.
- 1. Matrice de transition
- 2. Distribution πₙ
- 3. Distribution invariante
- 4. Coefficient (i, j) de Pⁿ
- A. π telle que π = πP
- B. probabilités des états à l’étape n
- C. probabilité d’aller de i à j en n étapes
- D. coefficients pij, lignes de somme 1
Exercice 7
La première ligne d’une matrice de transition à 3 états est (0,5 0,3 x). Que vaut x ?
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 8 — Coche la bonne réponse.
Une distribution π est invariante si…
- π = πP et la somme de ses coefficients vaut 1
- πP = 0
- π = P
- tous ses coefficients sont égaux
Exercice 9 — Complète les trous.
Complète.
Dans un graphe probabiliste, la somme des poids des arcs issus d’un sommet vaut . La matrice de transition a pour ligne i l’état de et pour colonne j l’état d’.
Exercice 10
Détermine la distribution invariante de la chaîne de matrice de transition P = (0,7 0,3 ; 0,4 0,6).
ulumine.com — exercices corrigés gratuits
ULUMINE · Mathématiques expertes · Terminale
Chaînes de Markov et suites de matrices — S’entraîner
Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : Vrai
Depuis un état donné, on va forcément dans l’un des états : les probabilités de la ligne ont pour somme 1.
Exercice 2
Réponse : 0,83
On calcule π₁ puis π₂.
- π₁ = (0,9 0,1)
- Première coordonnée de π₂ : 0,9 × 0,9 + 0,1 × 0,2 = 0,81 + 0,02 = 0,83
Exercice 3
Réponse : 0,666667
π = πP avec a + b = 1.
- a = 0,9a + 0,2b ⟺ 0,1a = 0,2b ⟺ a = 2b
- 3b = 1 : b = et a = ≈ 0,667
Exercice 4
Réponse : πₙ₊₁ = πₙP
Avec des distributions écrites en ligne, on multiplie à droite par P : πₙ₊₁ = πₙP, et πₙ = π₀Pⁿ.
Exercice 5
Réponse : 0,34
C’est le coefficient (B, A) de P².
- B → A → A : 0,2 × 0,9 = 0,18
- B → B → A : 0,8 × 0,2 = 0,16
- Total : 0,34
Exercice 6
Réponse : 1 → D · 2 → B · 3 → A · 4 → C
Ce sont les quatre objets de base d’une chaîne de Markov.
Exercice 7
Réponse : 0,2
La somme de la ligne vaut 1 : x = 1 − 0,5 − 0,3 = 0,2.
Exercice 8
Réponse : π = πP et la somme de ses coefficients vaut 1
Elle ne change pas d’une étape à l’autre, et c’est bien une distribution de probabilité.
Exercice 9
Réponse : 1 · départ · arrivée
pij = probabilité de passer de i (départ) à j (arrivée).
Exercice 10
Exemple de réponse : On cherche π = (a b) avec a + b = 1 et π = πP.
Première coordonnée : a = 0,7a + 0,4b, soit 0,3a = 0,4b, donc a = b.
a + b = 1 ⟹ b = 1 ⟹ b = et a = .
π = ( ).La seconde équation, b = 0,3a + 0,6b, est équivalente à la première : il faut la condition a + b = 1 pour conclure.
- Équation π = πP posée.
- Condition a + b = 1 utilisée.
- Résultat ( ).
Distributions écrites en ligne : π = (a b) signifie P(état 1) = a et P(état 2) = b.
Exercices corrigés : 0 / 10
- Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 2 sur 10
CalculP = (0,9 0,1 ; 0,2 0,8) et π₀ = (1 0). Calcule la première coordonnée de π₂.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 3 sur 10
CalculAvec P = (0,9 0,1 ; 0,2 0,8), la distribution invariante est (a b). Donne a arrondi au millième.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 4 sur 10
QCMQuelle relation lie deux distributions successives ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 5 sur 10
CalculP = (0,9 0,1 ; 0,2 0,8) sur les états A, B. Calcule la probabilité de passer de B à A en deux étapes.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 6 sur 10
AssociationAssocie chaque notion à sa description.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 7 sur 10
CalculLa première ligne d’une matrice de transition à 3 états est (0,5 0,3 x). Que vaut x ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 8 sur 10
QCMUne distribution π est invariante si…
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 9 sur 10
Texte à trousComplète.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 10 sur 10
Question ouverteDétermine la distribution invariante de la chaîne de matrice de transition P = (0,7 0,3 ; 0,4 0,6).
Aide d’ULU pour cet exercice
À découvrir aussi
Terminale · Mathématiques expertes
Nombres complexes : forme algébrique et conjugué
Découvre l’ensemble ℂ, la forme algébrique a + ib, le conjugué et les calculs de quotients. Cours et exercices corrigés de maths expertes en Terminale.
Terminale · Mathématiques expertes
Module, argument et forme trigonométrique
Représente un complexe dans le plan, calcule son module et un argument, passe à la forme trigonométrique. Cours et exercices de maths expertes en Terminale.
Terminale · Mathématiques expertes
Forme exponentielle, formules de Moivre et d’Euler
Écris un complexe sous la forme re^{iθ}, calcule des puissances avec Moivre et linéarise avec les formules d’Euler. Cours et exercices de maths expertes.