Exercices : divisibilité, division euclidienne et congruences

Exercice 1

Réponse : Il existe un entier k tel que a = 6k

b | a signifie que a est un multiple de b : a = kb avec k entier.

Exercice 2

Réponse : 3

7 × 289 = 2 023 et 2 026 − 2 023 = 3, avec 0 ≤ 3 < 7.

Exercice 3

Réponse : 3

−17 = 5 × (−4) + 3 et 0 ≤ 3 < 5. Attention, −2 n’est pas un reste valable.

Exercice 4

Réponse : Vrai

38 − 3 = 35 = 7 × 5 est divisible par 7.

Exercice 5

Réponse : 2

On utilise 2³ = 8 ≡ 1 [7].

1. 2¹⁰ = (2³)³ × 2
2. ≡ 1³ × 2 [7]
3. ≡ 2 [7]

Exercice 6

Réponse : au + bv pour tous entiers u et v

a = dk et b = dk′, donc au + bv = d(ku + k′v).

Exercice 7

Réponse : 9

Le chiffre des unités est le reste modulo 10, et 3⁴ = 81 ≡ 1 [10].

1. 2026 = 4 × 506 + 2
2. 3²⁰²⁶ ≡ (3⁴)⁵⁰⁶ × 3² ≡ 9 [10]

Exercice 8

Réponse : 1 → C · 2 → A · 3 → D · 4 → B · 5 → E

17 = 5 × 3 + 2 ; 100 = 9 × 11 + 1 ; 45 = 8 × 5 + 5 ; 27 = 4 × 6 + 3 ; 20 = 7 × 2 + 6.

Exercice 9

Réponse : 4

n + 3 divise (n + 10) − (n + 3) = 7.

1. n + 3 ∈ {1 ; 7} et n + 3 ≥ 3
2. n + 3 = 7, donc n = 4

Exercice 10

Exemple de réponse : On raisonne sur le reste de n modulo 3.
Si n ≡ 0 [3], le facteur n est divisible par 3.
Si n ≡ 1 [3], alors n + 2 ≡ 0 [3].
Si n ≡ 2 [3], alors n + 1 ≡ 0 [3].
Dans tous les cas, l’un des facteurs est divisible par 3, donc le produit aussi.

Le tableau de restes modulo 3 couvre tous les entiers : trois cas suffisent.

• Disjonction des trois cas de reste.
• Conclusion pour chaque cas.
• Conclusion générale.