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Divisibilité, division euclidienne et congruences
On raisonne sur les restes : division euclidienne a = bq + r et congruences a ≡ b [n].
Divisibilité
- b | a ⟺ a = kb.
- d | a et d | b ⟹ d | au + bv.
- Transitivité : a | b et b | c ⟹ a | c.
Division euclidienne
- a = bq + r, 0 ≤ r < b, couple unique.
- Reste toujours positif, même si a < 0.
Congruences
- a ≡ b [n] ⟺ n | a − b.
- Compatibles avec +, × et puissances.
- Grande puissance : trouver aᵏ ≡ 1 ou −1 [n].
- Tableau de restes pour une propriété « pour tout n ».
Pièges à éviter
- Pas de division dans une congruence en général.
- Le reste de −17 par 5 est 3, pas −2.
- Ne pas confondre a | b (« a divise b ») et .