Exercices : PGCD, théorèmes de Bézout et de Gauss

Exercice 1

Réponse : 12

Algorithme d’Euclide.

1. 84 = 36 × 2 + 12
2. 36 = 12 × 3 + 0
3. PGCD = 12

Exercice 2

Réponse : 21

On enchaîne les divisions euclidiennes.

1. 1 071 = 462 × 2 + 147
2. 462 = 147 × 3 + 21
3. 147 = 21 × 7 + 0 : PGCD = 21

Exercice 3

Réponse : Vrai

15 = 3 × 5 et 28 = 2² × 7 n’ont aucun facteur premier commun : PGCD = 1.

Exercice 4

Réponse : a et b sont premiers entre eux ⟺ il existe des entiers u, v tels que au + bv = 1

C’est l’énoncé du théorème de Bézout. La deuxième proposition est fausse en général ; la troisième est la propriété d’Euclide.

Exercice 5

Réponse : Si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c

L’hypothèse « a premier avec b » est essentielle. La dernière proposition n’est vraie que si a et b sont premiers entre eux.

Exercice 6

Réponse : -3

5 × 2 + 3v = 1 ⟺ 3v = −9 ⟺ v = −3.

Exercice 7

Réponse : Faux

Pour tous entiers x, y, 6x + 9y est un multiple de 3 = PGCD(6 ; 9), et 3 ne divise pas 4.

Exercice 8

Réponse : 3

Algorithme d’Euclide.

1. 255 = 141 × 1 + 114
2. 141 = 114 × 1 + 27
3. 114 = 27 × 4 + 6
4. 27 = 6 × 4 + 3
5. 6 = 3 × 2 + 0 : PGCD = 3

Exercice 9

Réponse : 1 → B · 2 → C · 3 → A · 4 → D

12 = 6 × 2 et 18 = 6 × 3 ; 35 = 7 × 5 et 49 = 7 × 7 ; 51 = 17 × 3 ; deux entiers consécutifs sont premiers entre eux.

Exercice 10

Exemple de réponse : (2 ; −3) est une solution particulière : 10 − 9 = 1.
Si (x ; y) est solution, 5x + 3y = 5 × 2 + 3 × (−3), donc 5(x − 2) = −3(y + 3).
3 divise 5(x − 2) et PGCD(3 ; 5) = 1 : par le théorème de Gauss, 3 divise x − 2, donc x = 2 + 3k avec k ∈ ℤ.
Alors 15k = −3(y + 3), d’où y = −3 − 5k.
Réciproquement, 5(2 + 3k) + 3(−3 − 5k) = 10 − 9 = 1.
S = {(2 + 3k ; −3 − 5k), k ∈ ℤ}.

C’est la méthode type : solution particulière, soustraction, Gauss, puis réciproque.

• Solution particulière.
• Utilisation correcte du théorème de Gauss (hypothèse citée).
• Réciproque vérifiée.