ULUMINE · Mathématiques expertes · Terminale
PGCD, théorèmes de Bézout et de Gauss
Le PGCD se calcule par l’algorithme d’Euclide ; Bézout et Gauss permettent de résoudre ax + by = c dans ℤ.
PGCD
- PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r) ; dernier reste non nul.
- Diviseurs communs = diviseurs du PGCD.
- et premiers entre eux si d = PGCD(a ; b).
Théorèmes
- Bézout : PGCD(a ; b) = 1 ⟺ ∃ u, v : au + bv = 1.
- Gauss : a | bc et PGCD(a ; b) = 1 ⟹ a | c.
- a | c, b | c, PGCD(a ; b) = 1 ⟹ ab | c.
Équation ax + by = c
- Solutions ⟺ PGCD(a ; b) | c.
- Solution particulière, soustraction, Gauss, réciproque.
Pièges à éviter
- Bézout ne donne pas l’unicité de u et v.
- Gauss sans l’hypothèse « premier avec » est faux.
- Toujours vérifier la réciproque dans une équation diophantienne.