Le calcul littéral consiste à transformer des expressions contenant des lettres. Savoir développer et factoriser permet ensuite de choisir la forme la plus adaptée pour résoudre une équation, étudier un signe ou calculer une valeur.
Objectifs
- Développer et réduire une expression
- Utiliser les identités remarquables dans les deux sens
- Factoriser à l’aide d’un facteur commun ou d’une identité
- Réduire des fractions au même dénominateur et isoler une variable dans une formule
1. Développer
- Distributivité simple : k(a + b) = ka + kb.
- Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Développer et réduire (2x − 1)(x + 4)
- = 2x × x + 2x × 4 − 1 × x − 1 × 4
- = 2x² + 8x − x − 4
= 2x² + 7x − 4
2. Les identités remarquables
| Identité | Exemple (développement) |
|---|---|
| (a + b)² = a² + 2ab + b² | (x + 3)² = x² + 6x + 9 |
| (a − b)² = a² − 2ab + b² | (2x − 5)² = 4x² − 20x + 25 |
| (a + b)(a − b) = a² − b² | (x + 7)(x − 7) = x² − 49 |
Calcul mental
- 101² = (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201
- 49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2 500 − 1 = 2 499
3. Factoriser
Factoriser, c’est transformer une somme en produit. On cherche d’abord un facteur commun, sinon une identité remarquable lue de droite à gauche.
Facteur commun
- A = (x + 1)(2x − 3) − (x + 1)(x + 2)
- Facteur commun : (x + 1)
- A = (x + 1)[(2x − 3) − (x + 2)] = (x + 1)(2x − 3 − x − 2)
A = (x + 1)(x − 5)
Identités
- x² − 25 = x² − 5² = (x − 5)(x + 5)
- 9x² − 12x + 4 = (3x)² − 2 × 3x × 2 + 2² = (3x − 2)²
4. Fractions et formules
Réduire au même dénominateur (x ≠ 0 et x ≠ −1)
- + = +
=
Isoler une variable
- Vitesse : v = (t > 0)
- En multipliant par t : vt = d
- En divisant par v (v ≠ 0) : t =
Choisir la bonne forme : la forme développée sert à calculer une image ou repérer des coefficients, la forme factorisée sert à résoudre A(x) = 0 ou à étudier un signe.
À retenir
- (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
- Développer : produit → somme ; factoriser : somme → produit.
- Factoriser : chercher d’abord un facteur commun, puis une identité.
- Pour additionner des fractions, on les réduit au même dénominateur.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.