Une matrice est un tableau de nombres. Derrière cette idée simple se cache un outil très puissant : une seule égalité AX = B résume un système d’équations, et les puissances Aⁿ décrivent l’évolution d’un système (population, graphe, chaîne de Markov) étape après étape.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Connaître le vocabulaire des matrices (taille, coefficients, matrices carrées, colonnes)
- Additionner, multiplier par un réel et multiplier deux matrices
- Calculer une puissance de matrice et l’inverse d’une matrice carrée
- Écrire et résoudre un système linéaire sous forme matricielle
1. Vocabulaire
Matrice : Une matrice de taille n × p est un tableau de nombres à n lignes et p colonnes. Le coefficient de la ligne i et de la colonne j est noté aij.
Notation en ligne utilisée ici : on sépare les lignes par un point-virgule. Ainsi A = (1 2 ; 3 4) est la matrice carrée d’ordre 2 de première ligne 1, 2 et de seconde ligne 3, 4.
- Matrice carrée d’ordre n : n lignes et n colonnes.
- Matrice colonne : une seule colonne ; matrice ligne : une seule ligne.
- Matrice identité Iₙ : des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs. I₂ = (1 0 ; 0 1).
- Matrice diagonale : coefficients nuls hors de la diagonale.
2. Opérations
- Somme A + B (même taille) : on additionne coefficient par coefficient.
- Produit par un réel kA : on multiplie chaque coefficient par k.
- Produit AB (A de taille n × p, B de taille p × q) : le coefficient (i, j) de AB est le produit de la ligne i de A par la colonne j de B, c’est-à-dire ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj. AB est de taille n × q.
A = (1 2 ; 3 4) et B = (0 1 ; 1 0)
- Coefficient (1, 1) de AB : 1 × 0 + 2 × 1 = 2 ; coefficient (1, 2) : 1 × 1 + 2 × 0 = 1.
- AB = (2 1 ; 4 3).
- BA = (3 4 ; 1 2).
AB ≠ BA : le produit de matrices n’est pas commutatif.
3. Puissances et inverse
Pour A carrée, Aⁿ = A × A × … × A (n facteurs) et A⁰ = I. Pour une matrice diagonale, il suffit d’élever chaque coefficient diagonal à la puissance n.
Matrice inversible : Une matrice carrée A est inversible s’il existe B telle que AB = BA = I. On note B = A⁻¹.
A = (a b ; c d) est inversible ⟺ ad − bc ≠ 0, et alors A⁻¹ = (d −b ; −c a)
- (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.
- Si A² − 5A − 2I = 0, alors A(A − 5I) = 2I, donc A est inversible et A⁻¹ = (A − 5I).
4. Systèmes linéaires
Le système { 2x + y = 5 ; 5x + 3y = 13 } s’écrit AX = B avec A = (2 1 ; 5 3), X = (x ; y) et B = (5 ; 13).
Résolution par l’inverse
- det A = 2 × 3 − 1 × 5 = 1 ≠ 0, donc A est inversible et A⁻¹ = (3 −1 ; −5 2).
- AX = B ⟺ X = A⁻¹B.
- X = (3 × 5 − 13 ; −5 × 5 + 2 × 13) = (2 ; 1).
Le système a une unique solution : x = 2, y = 1.
À retenir
- Coefficient (i, j) de AB : ligne i de A × colonne j de B.
- Le produit matriciel n’est pas commutatif.
- (a b ; c d) est inversible ⟺ ad − bc ≠ 0.
- Un système linéaire s’écrit AX = B ; si A est inversible, X = A⁻¹B.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.