Deux grandeurs peuvent croître toutes les deux, l’une de plus en plus vite, l’autre de plus en plus lentement. La convexité décrit cette différence : elle se lit sur la forme de la courbe et se calcule avec la dérivée seconde. Le moment où la croissance cesse d’accélérer pour ralentir s’appelle un point d’inflexion.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Définir une fonction convexe ou concave graphiquement
- Calculer une dérivée seconde et étudier son signe
- Déterminer un point d’inflexion
- Utiliser la convexité pour obtenir une inégalité
- Interpréter la convexité dans un modèle
1. Fonction convexe, fonction concave
Fonction convexe : Une fonction f dérivable sur un intervalle I est convexe sur I si sa courbe est située au-dessus de toutes ses tangentes (de façon équivalente, en dessous de ses cordes). Exemple : x ↦ x².
Fonction concave : f est concave sur I si sa courbe est située au-dessous de toutes ses tangentes (au-dessus de ses cordes). Exemple : x ↦ √x sur [0 ; +∞[.
2. Dérivée seconde et convexité
Dérivée seconde : Si f′ est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde de f, notée f″.
f convexe sur I ⟺ f′ croissante sur I ⟺ f″ ≥ 0 sur I
f concave sur I ⟺ f′ décroissante sur I ⟺ f″ ≤ 0 sur I
Étudier la convexité de f(x) = x³ − 3x² + 1
- f′(x) = 3x² − 6x
- f″(x) = 6x − 6 = 6(x − 1)
- f″(x) ≤ 0 pour x ≤ 1 et f″(x) ≥ 0 pour x ≥ 1.
f est concave sur ]−∞ ; 1] et convexe sur [1 ; +∞[.
3. Point d’inflexion
Point d’inflexion : Point de la courbe où la fonction change de convexité. En ce point, la courbe traverse sa tangente.
Si f″ s’annule en a en changeant de signe, le point A(a ; f(a)) est un point d’inflexion. Dans l’exemple précédent, f″ change de signe en 1 et f(1) = −1 : le point (1 ; −1) est un point d’inflexion.
4. Utiliser la convexité
Inégalité tangente
La fonction carré est convexe sur ℝ ; sa tangente en 1 a pour équation y = 2x − 1.
- La courbe est au-dessus de cette tangente.
- Donc, pour tout réel x, x² ≥ 2x − 1.
On retrouve (x − 1)² ≥ 0.
| Convexité | Vitesse de variation f′ | Lecture |
|---|---|---|
| convexe | croissante | la croissance s’accélère |
| concave | décroissante | la croissance ralentit |
| point d’inflexion | maximum ou minimum de f′ | changement de rythme |
À retenir
- Convexe : courbe au-dessus de ses tangentes, f′ croissante, f″ ≥ 0.
- Concave : courbe au-dessous de ses tangentes, f′ décroissante, f″ ≤ 0.
- Point d’inflexion : changement de convexité, la courbe traverse sa tangente.
- Il faut un changement de signe de f″, pas seulement f″(a) = 0.
- Pour une grandeur croissante, le point d’inflexion marque le moment où la vitesse est extrémale.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.