Chaque année, 80 % des adhérents d’une association renouvellent leur cotisation et 300 nouveaux arrivent. Ce n’est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique, mais un mélange des deux : un+1 = 0,8un + 300. Ces suites arithmético-géométriques modélisent de nombreuses situations (populations, polluants, médicaments, remboursements) et se ramènent à une suite géométrique.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Reconnaître une suite arithmético-géométrique
- Calculer le point fixe ℓ
- Montrer que u_{n} − ℓ est géométrique et en déduire u_{n}
- Déterminer la limite et l’interpréter dans un modèle
1. Définition et point fixe
Suite arithmético-géométrique : Une suite (un) est arithmético-géométrique s’il existe deux réels a et b tels que, pour tout n, un+1 = aun + b. Si a = 1, elle est arithmétique ; si b = 0, elle est géométrique. On étudie ici le cas a ≠ 1.
Point fixe : C’est le réel ℓ tel que ℓ = aℓ + b, c’est-à-dire ℓ = . Si la suite démarre en ℓ, elle reste constante.
un+1 = 0,8un + 300
- On résout ℓ = 0,8ℓ + 300.
- 0,2ℓ = 300
- ℓ = 1 500
Le point fixe vaut 1 500.
2. La suite auxiliaire géométrique
On pose vn = un − ℓ. Alors vn+1 = un+1 − ℓ = aun + b − (aℓ + b) = a(un − ℓ) = avn.
vn = un − ℓ est géométrique de raison a
un = (u0 − ℓ) × aⁿ + ℓ
Avec u0 = 1 000 et un+1 = 0,8un + 300
- vn = un − 1 500 est géométrique de raison 0,8.
- v0 = 1 000 − 1 500 = −500, donc vn = −500 × 0,8ⁿ.
- un = vn + 1 500.
un = 1 500 − 500 × 0,8ⁿ.
3. Limite et interprétation
Si 0 < a < 1, aⁿ tend vers 0, donc un tend vers ℓ quel que soit u0. La suite se stabilise : c’est un état d’équilibre.
Si a > 1, aⁿ tend vers +∞ : un tend vers +∞ si u0 > ℓ, vers −∞ si u0 < ℓ.
| Situation | Relation | Limite |
|---|---|---|
| 80 % restent, 300 arrivent | un+1 = 0,8un + 300 | 1 500 |
| 10 % de polluant éliminé, 2 t ajoutées | un+1 = 0,9un + 2 | 20 t |
| 30 % de médicament éliminé, dose de 4 mg | un+1 = 0,7un + 4 | ≈ 13,3 mg |
4. Calculer à la calculatrice ou en Python
def terme(n):
u = 1000
for k in range(n):
u = 0.8 * u + 300
return u
print(terme(10)) # environ 1446,3On vérifie avec la formule : u10 = 1 500 − 500 × 0,810 ≈ 1 500 − 53,7 ≈ 1 446,3.
À retenir
- un+1 = aun + b avec a ≠ 1 : suite arithmético-géométrique.
- Point fixe : ℓ = .
- vn = un − ℓ est géométrique de raison a.
- un = (u0 − ℓ)aⁿ + ℓ.
- Si 0 < a < 1, un tend vers ℓ (équilibre).
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.