La dérivée mesure la vitesse de variation d’une grandeur : coût marginal, vitesse, croissance d’une population. En Terminale, on complète les formules de Première par la dérivation de fonctions composées, puis on s’en sert pour étudier des variations et résoudre des problèmes d’optimisation.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Utiliser les dérivées usuelles et les opérations sur les fonctions
- Dériver x ↦ g(ax + b), uⁿ et √u
- Déterminer une équation de tangente
- Étudier le signe de f′ pour obtenir les variations et les extremums
- Résoudre un problème d’optimisation
1. Rappels : dérivées usuelles et opérations
| f(x) | f′(x) | f(x) | f′(x) |
|---|---|---|---|
| k (constante) | 0 | xⁿ (n entier) | nxⁿ⁻¹ |
| x | 1 | − | |
| x² | 2x | √x |
(u + v)′ = u′ + v′ ; (ku)′ = ku′
(uv)′ = u′v + uv′ ; ()′ =
2. Dériver une fonction composée
Fonction composée : La fonction x ↦ g(u(x)) consiste à appliquer u, puis g. Par exemple, x ↦ (3x − 1)⁵ est la composée de u(x) = 3x − 1 suivie de g(X) = X⁵.
(g(ax + b))′ = a × g′(ax + b)
(uⁿ)′ = nu′uⁿ⁻¹
(√u)′ = (là où u > 0)
Dériver f(x) = (3x − 1)⁵
- u(x) = 3x − 1, u′(x) = 3, n = 5.
- f′(x) = 5 × 3 × (3x − 1)⁴
f′(x) = 15(3x − 1)⁴.
Dériver g(x) = √(x² + 9)
- u(x) = x² + 9 > 0, u′(x) = 2x.
- g′(x) =
g′(x) = .
3. Tangente
y = f′(a)(x − a) + f(a)
Tangente à f(x) = √x en a = 4
- f(4) = 2 et f′(4) = = .
- y = (x − 4) + 2
y = x + 1.
4. Variations, extremums, optimisation
- Si f′ > 0 sur un intervalle (sauf en des points isolés), f y est strictement croissante.
- Si f′ < 0 sur un intervalle, f y est strictement décroissante.
- Si f′ s’annule en changeant de signe en a, f admet un extremum local en a.
Bénéfice B(q) = −2q² + 80q − 300 (en euros, q en kg produits, 0 ≤ q ≤ 40)
- B′(q) = −4q + 80, qui s’annule en q = 20.
- B′(q) > 0 pour q < 20 et B′(q) < 0 pour q > 20 : B croît puis décroît.
- B(20) = −800 + 1 600 − 300 = 500.
Le bénéfice est maximal pour 20 kg : il vaut 500 €.
À retenir
- (g(ax + b))′ = ag′(ax + b).
- (uⁿ)′ = nu′uⁿ⁻¹ et (√u)′ = .
- Tangente en a : y = f′(a)(x − a) + f(a).
- Le signe de f′ donne le sens de variation de f.
- Un extremum local correspond à un changement de signe de f′.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.