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Exercices : suites arithmético-géométriques

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Suites arithmético-géométriques — S’entraîner

Feuille d’exercices

Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 9

On étudie la suite définie par u₀ = 1 000 et u_n+1 = 0,8u_n + 300 (sauf mention contraire).

Exercice 1
Calcule u₁.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 2
Calcule u₂.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3
Calcule le point fixe ℓ, solution de ℓ = 0,8ℓ + 300.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4 — Coche la bonne réponse.
On pose v_n = u_n − 1 500. Quelle est la nature de (v_n) ?
- arithmétique de raison 300
- géométrique de raison 0,8
- géométrique de raison 1 500
- ni arithmétique ni géométrique
Exercice 5
Calcule v₀.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6 — Coche la bonne réponse.
Quelle est l’expression de u_n en fonction de n ?
- u_n = 1 000 × 0,8ⁿ + 300
- u_n = 1 500 − 500 × 0,8ⁿ
- u_n = 1 500 + 500 × 0,8ⁿ
- u_n = 1 000 + 300n
Exercice 7 — Coche la bonne réponse.
Quelle est la limite de la suite (u_n) ?
- 0
- 1 000
- 1 500
- +∞
Exercice 8 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
La suite définie par u_n+1 = 2u_n + 3 est arithmético-géométrique.
VraiFaux
Exercice 9 — Complète les trous.
Complète pour la suite définie par u_n+1 = 0,5u_n + 4 (écris les nombres en chiffres).
Le point fixe vaut et la suite v_n = u_n − 8 est géométrique de raison .

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Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants

Exercice 1
Réponse : 1100
On applique la relation de récurrence avec n = 0.
1. u₁ = 0,8 × 1 000 + 300
2. u₁ = 800 + 300 = 1 100
Exercice 2
Réponse : 1180
On applique la relation avec n = 1.
1. u₂ = 0,8 × 1 100 + 300
2. u₂ = 880 + 300 = 1 180
Exercice 3
Réponse : 1500
On isole ℓ.
1. ℓ − 0,8ℓ = 300
2. 0,2ℓ = 300
3. ℓ = 1 500
Exercice 4
Réponse : géométrique de raison 0,8
v_n+1 = u_n+1 − 1 500 = 0,8u_n + 300 − 1 500 = 0,8u_n − 1 200 = 0,8(u_n − 1 500) = 0,8v_n.
Exercice 5
Réponse : -500
v₀ = u₀ − 1 500.
1. v₀ = 1 000 − 1 500 = −500
Exercice 6
Réponse : u_n = 1 500 − 500 × 0,8ⁿ
v_n = −500 × 0,8ⁿ et u_n = v_n + 1 500.
1. u_n = −500 × 0,8ⁿ + 1 500
2. Vérification : u₀ = 1 500 − 500 = 1 000
Exercice 7
Réponse : 1 500
0 < 0,8 < 1, donc 0,8ⁿ tend vers 0 et u_n = 1 500 − 500 × 0,8ⁿ tend vers 1 500.
Exercice 8
Réponse : Vrai
Elle est de la forme u_n+1 = au_n + b avec a = 2 ≠ 1 et b = 3.
Exercice 9
Réponse : 8 · 0,5
ℓ = 0,5ℓ + 4 donne 0,5ℓ = 4, donc ℓ = 8. La suite u_n − ℓ est toujours géométrique de raison a = 0,5.

On étudie la suite définie par u₀ = 1 000 et u_n+1 = 0,8u_n + 300 (sauf mention contraire).

Exercices corrigés : 0 / 9

Exercice 1 sur 9
Calcul
Calcule u₁.
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 2 sur 9
Calcul
Calcule u₂.
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 3 sur 9
Calcul
Calcule le point fixe ℓ, solution de ℓ = 0,8ℓ + 300.
Ta réponse
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Exercice 4 sur 9
QCM
On pose v_n = u_n − 1 500. Quelle est la nature de (v_n) ?
Choisis une réponse
arithmétique de raison 300géométrique de raison 0,8géométrique de raison 1 500ni arithmétique ni géométrique
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Exercice 5 sur 9
Calcul
Calcule v₀.
Ta réponse
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Exercice 6 sur 9
QCM
Quelle est l’expression de u_n en fonction de n ?
Choisis une réponse
u_n = 1 000 × 0,8ⁿ + 300u_n = 1 500 − 500 × 0,8ⁿu_n = 1 500 + 500 × 0,8ⁿu_n = 1 000 + 300n
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Exercice 7 sur 9
QCM
Quelle est la limite de la suite (u_n) ?
Choisis une réponse
01 0001 500+∞
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Exercice 8 sur 9
Vrai ou faux
La suite définie par u_n+1 = 2u_n + 3 est arithmético-géométrique.
Vrai ou faux ?
VraiFaux
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Exercice 9 sur 9
Texte à trous
Complète pour la suite définie par u_n+1 = 0,5u_n + 4 (écris les nombres en chiffres).
Le point fixe vaut et la suite v_n = u_n − 8 est géométrique de raison .
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