ULUMINE · Mathématiques complémentaires · Terminale
Convexité et points d’inflexion
Le signe de f″ donne la convexité ; un changement de signe donne un point d’inflexion.
Caractérisations
- Convexe : au-dessus des tangentes ⟺ f′ croissante ⟺ f″ ≥ 0
- Concave : au-dessous des tangentes ⟺ f′ décroissante ⟺ f″ ≤ 0
Point d’inflexion
- f″ s’annule en changeant de signe
- La courbe traverse sa tangente
- Pour une grandeur croissante : vitesse maximale (ou minimale)
Exemples
- x², eˣ : convexes sur ℝ
- √x : concave sur ]0 ; +∞[
- x³ : point d’inflexion en 0
Pièges à éviter
- Confondre le signe de f′ (variations) et celui de f″ (convexité).
- Conclure à un point d’inflexion dès que f″(a) = 0 (contre-exemple : x⁴).
- Oublier de calculer f(a) pour donner les coordonnées du point.