Exercice 1 sur 9
QCMSur quel intervalle la fonction f(x) = x³ est-elle convexe ?
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Exercices : convexité et points d’inflexion
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Convexité et points d’inflexion — S’entraîner
Feuille d’exercices
Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 9
Calcule f″, étudie son signe et conclus.
Exercice 1 — Coche la bonne réponse.
Sur quel intervalle la fonction f(x) = x³ est-elle convexe ?
- ℝ
- ]−∞ ; 0]
- [0 ; +∞[
- nulle part
Exercice 2
Soit f(x) = x³ − 3x² + 1. Donne l’abscisse de son point d’inflexion.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
La fonction carré est convexe sur ℝ.
VraiFaux
Exercice 4 — Coche la bonne réponse.
Une fonction deux fois dérivable est concave sur I si et seulement si :
- f ≤ 0 sur I
- f′ ≤ 0 sur I
- f″ ≤ 0 sur I
- f″ ≥ 0 sur I
Exercice 5 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Si f est convexe sur I, sa courbe est située au-dessous de ses tangentes.
VraiFaux
Exercice 6
Soit f(x) = x⁴ − 6x². Sa courbe a deux points d’inflexion. Donne l’abscisse positive.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7 — Relie chaque élément de gauche à celui de droite.
Associe chaque information à sa conséquence.
- 1. f′ croissante sur I
- 2. f′ décroissante sur I
- 3. f″ change de signe en a
- 4. f″(a) = 0 sans changement de signe
- A. f convexe sur I
- B. pas de point d’inflexion en a
- C. point d’inflexion d’abscisse a
- D. f concave sur I
Exercice 8
Soit f(x) = x³ − 6x² + 9x. Donne l’ordonnée de son point d’inflexion.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 9 — Coche la bonne réponse.
La fonction carré est convexe et sa tangente en 1 est y = 2x − 1. Quelle inégalité est vraie pour tout réel x ?
- x² ≤ 2x − 1
- x² ≥ 2x − 1
- x² ≥ 2x + 1
- x² ≤ 2x
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Convexité et points d’inflexion — S’entraîner
Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : [0 ; +∞[
f″(x) = 6x, positive ou nulle exactement sur [0 ; +∞[.
Exercice 2
Réponse : 1
f″(x) = 6x − 6 s’annule en 1 en changeant de signe.
Exercice 3
Réponse : Vrai
f(x) = x² donne f″(x) = 2 > 0 sur ℝ.
Exercice 4
Réponse : f″ ≤ 0 sur I
Concave ⟺ f′ décroissante ⟺ f″ ≤ 0. Le signe de f ou de f′ ne renseigne pas sur la convexité.
Exercice 5
Réponse : Faux
C’est l’inverse : une fonction convexe a sa courbe au-dessus de ses tangentes (et au-dessous de ses cordes).
Exercice 6
Réponse : 1
f′(x) = 4x³ − 12x et f″(x) = 12x² − 12 = 12(x − 1)(x + 1).
- f″ s’annule en −1 et 1 en changeant de signe.
- Abscisse positive : 1
Exercice 7
Réponse : 1 → A · 2 → D · 3 → C · 4 → B
La convexité se lit sur le sens de variation de f′, donc sur le signe de f″ ; un point d’inflexion exige un changement de signe de f″.
Exercice 8
Réponse : 2
f″(x) = 6x − 12 s’annule en 2 en changeant de signe.
- f(2) = 8 − 24 + 18 = 2
- Point d’inflexion : (2 ; 2)
Exercice 9
Réponse : x² ≥ 2x − 1
Une courbe convexe est au-dessus de ses tangentes : x² ≥ 2x − 1, ce qui équivaut à (x − 1)² ≥ 0.
Calcule f″, étudie son signe et conclus.
Exercices corrigés : 0 / 9
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Exercice 2 sur 9
CalculSoit f(x) = x³ − 3x² + 1. Donne l’abscisse de son point d’inflexion.
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Vrai ou fauxLa fonction carré est convexe sur ℝ.
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QCMUne fonction deux fois dérivable est concave sur I si et seulement si :
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Vrai ou fauxSi f est convexe sur I, sa courbe est située au-dessous de ses tangentes.
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CalculSoit f(x) = x⁴ − 6x². Sa courbe a deux points d’inflexion. Donne l’abscisse positive.
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AssociationAssocie chaque information à sa conséquence.
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CalculSoit f(x) = x³ − 6x² + 9x. Donne l’ordonnée de son point d’inflexion.
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QCMLa fonction carré est convexe et sa tangente en 1 est y = 2x − 1. Quelle inégalité est vraie pour tout réel x ?
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