Une population qui gagne 500 habitants par an, un capital placé à 3 % par an : ces évolutions se décrivent année après année par une suite. On distingue deux grands modèles : la croissance linéaire (suite arithmétique) et la croissance exponentielle (suite géométrique). Savoir les reconnaître permet de prévoir, de cumuler et de déterminer des seuils.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Reconnaître une évolution linéaire ou à taux constant
- Exprimer u_{n} en fonction de n pour une suite arithmétique ou géométrique
- Calculer la somme de termes consécutifs
- Déterminer la limite de qⁿ et un seuil à l’aide d’un algorithme
1. Croissance linéaire : suites arithmétiques
Suite arithmétique : Une suite (un) est arithmétique de raison r si, pour tout n, un+1 = un + r : on ajoute toujours la même quantité.
un = u0 + nr
un = up + (n − p)r
Une ville compte 12 000 habitants en 2025 et en gagne 450 par an
- On note un la population en 2025 + n : u0 = 12 000 et un+1 = un + 450.
- La suite est arithmétique de raison 450, donc un = 12 000 + 450n.
- En 2035 (n = 10) : u10 = 12 000 + 4 500.
u10 = 16 500 habitants.
2. Croissance exponentielle : suites géométriques
Suite géométrique : Une suite (un) est géométrique de raison q si, pour tout n, un+1 = q × un : on multiplie toujours par le même nombre.
un = u0 × qⁿ
un = up × qn − p
Un capital de 2 000 € est placé à 2,5 % par an (intérêts composés)
- Chaque année, le capital est multiplié par 1,025 : Cn = 2 000 × 1,025ⁿ.
- Après 8 ans : C8 = 2 000 × 1,025⁸ ≈ 2 000 × 1,218 4.
C8 ≈ 2 436,81 €.
3. Sommes de termes consécutifs
Suite arithmétique : S = (nombre de termes) ×
1 + 2 + … + n =
Pour q ≠ 1 : 1 + q + q² + … + qⁿ =
u0 + u1 + … + un = u0 ×
Production cumulée
Une usine produit 500 pièces le premier mois, puis 4 % de plus chaque mois. Production totale sur 12 mois ?
- un = 500 × 1,04ⁿ pour n allant de 0 à 11 : il y a 12 termes.
- S = 500 × = 500 × .
- 1,0412 ≈ 1,601 0, donc S ≈ 500 × 15,026.
S ≈ 7 513 pièces.
4. Limites et seuils
| Raison q | Limite de qⁿ | Modèle (u0 > 0) |
|---|---|---|
| q > 1 | +∞ | croissance exponentielle |
| q = 1 | 1 | suite constante |
| 0 < q < 1 | 0 | décroissance exponentielle |
Une suite arithmétique de raison r > 0 tend vers +∞, mais « moins vite » : à long terme, une croissance exponentielle finit toujours par dépasser une croissance linéaire.
Pour trouver le premier rang n à partir duquel un dépasse un seuil, on peut utiliser un algorithme (ou la fonction logarithme, vue plus loin) :
def seuil(u0, q, s):
n = 0
u = u0
while u < s:
u = u * q
n = n + 1
return n
print(seuil(1000, 1.05, 2000)) # affiche 15À retenir
- Ajouter r à chaque étape : suite arithmétique, un = u0 + nr (croissance linéaire).
- Multiplier par q à chaque étape : suite géométrique, un = u0 × qⁿ (croissance exponentielle).
- Un taux d’évolution de t % correspond à un coefficient multiplicateur 1 + .
- 1 + q + … + qⁿ = pour q ≠ 1.
- Si q > 1, qⁿ tend vers +∞ ; si 0 < q < 1, qⁿ tend vers 0.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.