La fonction exponentielle est la fonction des phénomènes dont la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente : croissance d’une population de bactéries, décroissance radioactive, refroidissement d’un liquide. C’est la version « continue » des suites géométriques.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Utiliser les propriétés algébriques de l’exponentielle
- Dériver une fonction de la forme e^{u}
- Connaître les variations, la convexité et les limites de exp
- Résoudre des équations et inéquations simples avec exp
- Exploiter un modèle t ↦ Ce^{kt}
1. Définition et propriétés algébriques
Fonction exponentielle : C’est l’unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1. On la note exp, et exp(x) = eˣ, avec e ≈ 2,718.
ea + b = eᵃ × eᵇ ; e−a = ; ea − b = ; (eᵃ)ⁿ = ena
- Pour tout réel x, eˣ > 0.
- e⁰ = 1 et e¹ = e.
- eᵃ = eᵇ ⟺ a = b et eᵃ < eᵇ ⟺ a < b.
Résoudre e2x − 1 = ex + 3
- Les exponentielles sont égales si et seulement si les exposants le sont.
- 2x − 1 = x + 3
- x = 4
S = {4}.
2. Étude de la fonction exponentielle
- exp′ = exp > 0 : exp est strictement croissante sur ℝ.
- exp″ = exp > 0 : exp est convexe sur ℝ ; sa courbe est au-dessus de sa tangente en 0, d’où eˣ ≥ x + 1.
- Limites : eˣ tend vers +∞ quand x tend vers +∞, et vers 0 quand x tend vers −∞.
(eu)′ = u′eu
(ekx)′ = kekx
Variations de f(x) = xeˣ
- f′(x) = 1 × eˣ + x × eˣ = (x + 1)eˣ
- eˣ > 0, donc f′(x) a le signe de x + 1.
- f est décroissante sur ]−∞ ; −1] et croissante sur [−1 ; +∞[
Minimum en −1 : f(−1) = −e−1 ≈ −0,37.
3. Modèles de croissance et de décroissance
Une grandeur f(t) = Cekt (C > 0) vérifie f′(t) = kf(t) : sa vitesse de variation est proportionnelle à sa valeur.
| Paramètre k | Variations | Limite en +∞ | Exemples |
|---|---|---|---|
| k > 0 | croissante | +∞ | bactéries, placements |
| k < 0 | décroissante | 0 | radioactivité, élimination d’un médicament |
Refroidissement : T(t) = 20 + 70e−0,1t (en °C, t en minutes)
- T(0) = 20 + 70 = 90 °C.
- T′(t) = 70 × (−0,1)e−0,1t = −7e−0,1t < 0 : la température baisse.
- e−0,1t tend vers 0, donc T(t) tend vers 20 °C (température de la pièce).
À retenir
- exp′ = exp, e⁰ = 1, eˣ > 0 pour tout x.
- ea+b = eᵃeᵇ et e−a = .
- (eu)′ = u′eu.
- exp est strictement croissante et convexe ; limites 0 en −∞ et +∞ en +∞.
- Cekt : croissance si k > 0, décroissance vers 0 si k < 0.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.