Quelques fonctions reviennent sans cesse : on les appelle fonctions de référence. Avec les fonctions affines, il faut connaître parfaitement la fonction carré, la fonction inverse et la fonction valeur absolue : courbe, variations et utilisation pour comparer des nombres.
Objectifs
- Connaître la courbe et les variations des fonctions carré, inverse et valeur absolue
- Démontrer les variations des fonctions carré et inverse
- Comparer x et x² selon les valeurs de x
- Utiliser les variations pour encadrer ou comparer des nombres
1. La fonction carré
- Définie sur ℝ par f(x) = x². Sa courbe est une parabole de sommet l’origine, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- Elle est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[ ; son minimum est 0, atteint en 0.
Démonstration : la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[
- Soit 0 ≤ a < b.
- b² − a² = (b − a)(b + a).
- b − a > 0 et b + a > 0, donc b² − a² > 0, soit a² < b².
La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +∞[. (Même méthode sur ]−∞ ; 0] : b + a < 0, donc elle y est décroissante.)
Position relative des courbes y = x et y = x² pour x ≥ 0
- x² − x = x(x − 1).
- Sur [0 ; 1] : x ≥ 0 et x − 1 ≤ 0, donc x² ≤ x.
- Sur [1 ; +∞[ : x ≥ 0 et x − 1 ≥ 0, donc x² ≥ x.
Entre 0 et 1, la parabole est sous la droite y = x ; au-delà de 1, elle est au-dessus. Par exemple 0,5² = 0,25 < 0,5.
2. La fonction inverse
- Définie sur ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ par f(x) = . Sa courbe est une hyperbole, symétrique par rapport à l’origine.
- Elle est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; +∞[.
Démonstration sur ]0 ; +∞[
- Soit 0 < a < b.
- − = .
- a − b < 0 et ab > 0, donc − < 0, soit > .
La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.
3. La fonction valeur absolue
- Définie sur ℝ par f(x) = |x| : f(x) = −x si x ≤ 0 et f(x) = x si x ≥ 0.
- Sa courbe est formée de deux demi-droites : celle de y = −x pour x ≤ 0 et celle de y = x pour x ≥ 0 (forme de « V »).
- Elle est décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[, et son minimum est 0, atteint en 0.
Exemple
|x| = 3 ⟺ x = −3 ou x = 3 ; |x| ≤ 3 ⟺ x ∈ [−3 ; 3].
4. Utiliser les variations
Si 2 < x < 5, encadrer x²
- 2 et 5 sont dans [0 ; +∞[ où la fonction carré est croissante : elle conserve l’ordre.
4 < x² < 25
Si −4 < x < −1, encadrer
- Sur ]−∞ ; 0[, la fonction inverse est décroissante : elle inverse l’ordre.
- = −0,25 et = −1.
−1 < < −0,25
| Équation ou inéquation | Solutions (k > 0) |
|---|---|
| x² = k | x = −√k ou x = √k |
| x² < k | ]−√k ; √k[ |
| x² > k | ]−∞ ; −√k[ ∪ ]√k ; +∞[ |
À retenir
- Carré : décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[, minimum 0.
- Inverse : décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ (séparément).
- Valeur absolue : décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[, minimum 0.
- Pour 0 ≤ x ≤ 1, x² ≤ x ; pour x ≥ 1, x² ≥ x.
- Une fonction croissante conserve l’ordre, une fonction décroissante l’inverse.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.