Exercices : fonctions de référence : carré, inverse et valeur absolue

Exercice 1

Réponse : (−3)² > (−2)²

−3 < −2 et la fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0] : elle inverse l’ordre, donc (−3)² > (−2)². Vérification : 9 > 4.

Exercice 2

Réponse : 4 < x² < 25

La fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[ : elle conserve l’ordre. 2² = 4 et 5² = 25.

Exercice 3

Réponse : ]−1 ; −0,25[

La fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[ : l’ordre est inversé.

1. 1−4 = −0,25 et 1−1 = −1
2. −4 < x < −1 ⟹ 1−4 > 1x > 1−1
3. −1 < 1x < −0,25

Exercice 4

Réponse : Faux

Contre-exemple : −1 < 1 mais 1−1 = −1 < 1 = 11. L’ordre est conservé ici, donc elle n’est pas décroissante sur la réunion. Elle est décroissante sur chacun des deux intervalles séparément.

Exercice 5

Réponse : Vrai

x² − x = x(x − 1). Sur [0 ; 1], x ≥ 0 et x − 1 ≤ 0, donc le produit est négatif ou nul : x² ≤ x. Exemple : 0,5² = 0,25 ≤ 0,5.

Exercice 6

Réponse : 3,16

x² = 10 a deux solutions : −√10 et √10. La solution positive est √10 ≈ 3,162…, soit 3,16 au centième.

Exercice 7

Réponse : ]−∞ ; −3[ ∪ ]3 ; +∞[

x² > 9 ⟺ |x| > 3 : x est à plus de 3 de 0. Ne pas oublier les valeurs négatives : (−4)² = 16 > 9.

Exercice 8

Réponse : 1 → A · 2 → C · 3 → B

Carré : parabole ; inverse : hyperbole, non définie en 0 ; valeur absolue : courbe en « V » formée des demi-droites y = −x (x ≤ 0) et y = x (x ≥ 0).

Exercice 9

Exemple de réponse : Soit a et b deux réels avec a < b ≤ 0.
b² − a² = (b − a)(b + a).
b − a > 0 ; a et b sont négatifs ou nuls, et a < 0, donc b + a < 0.
Ainsi b² − a² < 0, soit a² > b².
a < b entraîne a² > b² : la fonction carré est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0].

On étudie le signe de b² − a² grâce à l’identité a² − b² = (a − b)(a + b).

• Choix de a < b dans l’intervalle.
• Factorisation b² − a² = (b − a)(b + a).
• Signes de chaque facteur justifiés.
• Conclusion sur l’ordre inversé.