Comparer deux quantités, trouver à partir de quand une offre devient plus intéressante, garantir qu’un résultat reste sous un seuil : tout cela repose sur les inégalités. Il faut connaître leurs règles de calcul, en particulier le changement de sens.
Objectifs
- Appliquer les règles opératoires sur les inégalités
- Comparer deux nombres par leur différence ou par leur quotient
- Interpréter une comparaison de façon additive ou multiplicative
- Résoudre une inéquation du premier degré et modéliser un problème
1. Règles de calcul
a < b ⟺ a − b < 0
| Opération sur a < b | Résultat |
|---|---|
| ajouter ou soustraire c | a + c < b + c (même sens) |
| multiplier ou diviser par k > 0 | ka < kb (même sens) |
| multiplier ou diviser par k < 0 | ka > kb (sens changé) |
Exemple
−2x < 6 ⟺ x > −3 : on divise par −2, qui est négatif, donc on change le sens.
2. Comparer deux nombres
- Par différence : on étudie le signe de a − b. Si a − b > 0, alors a > b.
- Par quotient (a et b strictement positifs) : si > 1, alors a > b ; si < 1, alors a < b.
Comparer et
- − = − = − < 0
Donc < .
Une comparaison peut être additive (« a dépasse b de 10 » : a − b = 10) ou multiplicative (« a vaut 1,25 fois b » : = 1,25). Un prix qui passe de 40 € à 50 € augmente de 10 € et est multiplié par 1,25.
3. Résoudre une inéquation du premier degré
Résoudre 5 − 2x ≥ 1
- −2x ≥ 1 − 5
- −2x ≥ −4
- x ≤ (on divise par −2 < 0 : le sens change)
- x ≤ 2
S = ]−∞ ; 2]
Résoudre 3x + 1 < x + 7
- 3x − x < 7 − 1
- 2x < 6
- x < 3
S = ]−∞ ; 3[
4. Modéliser un problème
Deux tarifs de location : A coûte 20 € plus 0,50 € par km ; B coûte 0,90 € par km. À partir de combien de km A est-il moins cher ?
- Pour x km : A = 20 + 0,5x et B = 0,9x.
- A < B ⟺ 20 + 0,5x < 0,9x ⟺ 20 < 0,4x ⟺ x > 50.
A est strictement moins cher au-delà de 50 km.
À retenir
- a < b ⟺ a − b < 0.
- Multiplier ou diviser par un négatif change le sens de l’inégalité.
- Pour a, b > 0 : a < b ⟺ < 1.
- Les solutions d’une inéquation s’écrivent sous forme d’intervalle.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.