Connaître la vitesse d’un véhicule à chaque instant permet de calculer la distance parcourue ; connaître un débit permet de calculer un volume. Ce passage d’un « taux » à une « quantité totale » est le rôle de l’intégrale, qui se calcule grâce aux primitives et s’interprète comme une aire.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Déterminer une primitive des fonctions usuelles
- Calculer une intégrale avec une primitive
- Interpréter une intégrale comme une aire
- Utiliser linéarité, relation de Chasles et positivité
- Calculer une valeur moyenne et approcher une intégrale
1. Primitives
Primitive : Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que F′ = f. Si F est une primitive, les autres sont les fonctions F + C (C constante).
| f(x) | Une primitive F(x) | Intervalle |
|---|---|---|
| k | kx | ℝ |
| xⁿ (n ≥ 0 entier) | ℝ | |
| − | ]0 ; +∞[ | |
| 2√x | ]0 ; +∞[ | |
| ln x | ]0 ; +∞[ | |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| eax + b (a ≠ 0) | eax + b | ℝ |
| u′eu | eu | selon u |
| (u > 0) | ln u | selon u |
2. Intégrale et aire
Intégrale : Si f est continue sur [a ; b] et F une primitive de f, l’intégrale de f de a à b est ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), que l’on note aussi [F(x)]ab.
Si f est positive sur [a ; b], cette intégrale est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
Calculer ∫13 (2x + 1) dx
- Une primitive est F(x) = x² + x.
- F(3) − F(1) = (9 + 3) − (1 + 1)
∫13 (2x + 1) dx = 10.
3. Propriétés
- Linéarité : ∫ab (f + g) = ∫ab f + ∫ab g et ∫ab kf = k∫ab f.
- Relation de Chasles : ∫ac f = ∫ab f + ∫bc f.
- Positivité : si f ≥ 0 sur [a ; b] (avec a ≤ b), alors ∫ab f ≥ 0.
- Ordre : si f ≤ g sur [a ; b], alors ∫ab f ≤ ∫ab g.
4. Valeur moyenne et approximation
μ = ∫ab f(x) dx
Température moyenne
Sur [0 ; 3], une température vaut f(t) = t² (en °C).
- ∫03 t² dt = []03 = 9
- μ = × 9 = 3
La température moyenne est 3 °C.
Quand on ne connaît pas de primitive, on approche l’intégrale par une somme d’aires de rectangles (méthode des rectangles) :
def rectangles(f, a, b, n):
h = (b - a) / n
s = 0
for k in range(n):
s = s + f(a + k * h) * h
return s
print(rectangles(lambda x: x**2, 0, 2, 1000)) # environ 2,663 (valeur exacte 8/3)À retenir
- F primitive de f ⟺ F′ = f.
- ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a).
- Pour f ≥ 0, l’intégrale est une aire en unités d’aire.
- Linéarité, Chasles, positivité.
- Valeur moyenne : ∫ab f(x) dx.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.