Combien de temps faut-il pour qu’un capital double ? Au bout de combien de temps la moitié d’un médicament est-elle éliminée ? Pour répondre, il faut « inverser » l’exponentielle : c’est le rôle du logarithme népérien, noté ln. Il permet aussi de résoudre enfin par le calcul les problèmes de seuil sur les suites géométriques.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Définir ln comme fonction réciproque de exp
- Utiliser les propriétés algébriques de ln
- Résoudre des équations et inéquations avec exp et ln
- Dériver ln(u) et étudier une fonction avec ln
- Déterminer un seuil, un temps de doublement ou une demi-vie
1. Définition
Logarithme népérien : Pour tout réel a > 0, l’équation eˣ = a a une unique solution, notée ln a. La fonction ln est définie sur ]0 ; +∞[.
y = ln x ⟺ x = eʸ (x > 0)
ln(eˣ) = x pour tout réel x ; eln x = x pour tout x > 0
- ln 1 = 0 et ln e = 1.
- ln x < 0 si 0 < x < 1 ; ln x > 0 si x > 1.
2. Propriétés algébriques
ln(ab) = ln a + ln b ; ln() = ln a − ln b
ln() = −ln a ; ln(aⁿ) = n ln a ; ln(√a) = ln a
3. Résoudre des équations et des seuils
Résoudre e0,2t = 5
- On applique ln : 0,2t = ln 5.
- t = ≈ 8,05
Seuil : plus petit n tel que 1,03ⁿ ≥ 2
- ln est croissante : 1,03ⁿ ≥ 2 ⟺ n ln 1,03 ≥ ln 2.
- ln 1,03 > 0, donc n ≥ ≈ 23,4.
n = 24 : à 3 % par an, un capital double en 24 ans.
Demi-vie : m(t) = m₀e−λt
- On cherche t tel que m(t) = : e−λt = .
- −λt = ln() = −ln 2
t = (indépendant de la masse initiale).
4. Étude de la fonction ln
(ln x)′ = ; (ln u)′ = (u > 0)
- ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ et concave ((ln)″(x) = − < 0).
- Limites : ln x tend vers −∞ quand x tend vers 0 (x > 0) et vers +∞ quand x tend vers +∞, mais très lentement.
- Les courbes de ln et exp sont symétriques par rapport à la droite y = x.
Étudier f(x) = x − ln x sur ]0 ; +∞[
- f′(x) = 1 − =
- Sur ]0 ; 1[, f′ < 0 ; sur ]1 ; +∞[, f′ > 0.
f admet un minimum en 1 : f(1) = 1. Donc x − ln x ≥ 1 > 0, c’est-à-dire ln x < x.
À retenir
- ln est définie sur ]0 ; +∞[ : y = ln x ⟺ x = eʸ.
- ln(ab) = ln a + ln b et ln(aⁿ) = n ln a.
- (ln u)′ = ; ln est croissante et concave.
- qⁿ ≥ s ⟺ n ln q ≥ ln s : diviser par ln q < 0 change le sens.
- Demi-vie ou temps de doublement : t = .
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.