Tailles, masses de produits fabriqués, erreurs de mesure, résultats à un test : de nombreuses grandeurs se répartissent « en cloche » autour d’une valeur moyenne. La loi normale modélise ces phénomènes. Elle est décrite par deux paramètres : sa moyenne μ et son écart type σ.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Connaître la forme et les paramètres d’une loi normale
- Utiliser les intervalles à un, deux et trois écarts types
- Calculer des probabilités à la calculatrice
- Utiliser la symétrie de la courbe
- Approcher une loi binomiale par une loi normale
1. La loi normale N(μ ; σ²)
Loi normale centrée réduite N(0 ; 1) : Loi à densité sur ℝ de densité φ(x) = e−x²/2. Sa courbe est une « cloche » symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; son espérance vaut 0 et son écart type 1.
Loi normale N(μ ; σ²) : X suit la loi normale d’espérance μ et d’écart type σ > 0 lorsque Z = suit la loi N(0 ; 1). Sa courbe est une cloche symétrique par rapport à la droite x = μ.
- μ fixe la position du sommet de la cloche.
- σ fixe sa largeur : plus σ est grand, plus la courbe est étalée et basse (l’aire totale reste égale à 1).
- Par symétrie : P(X ≤ μ) = P(X ≥ μ) = 0,5 et P(X ≤ μ − a) = P(X ≥ μ + a).
2. Intervalles à retenir
| Intervalle | Probabilité (arrondie) |
|---|---|
| [μ − σ ; μ + σ] | ≈ 0,683 |
| [μ − 2σ ; μ + 2σ] | ≈ 0,954 |
| [μ − 3σ ; μ + 3σ] | ≈ 0,997 |
| [μ − 1,96σ ; μ + 1,96σ] | ≈ 0,95 |
Le QI est modélisé par X qui suit N(100 ; 15²)
- P(85 ≤ X ≤ 115) ≈ 0,683 : environ 68 % de la population entre 85 et 115.
- P(X ≥ 130) : 130 = μ + 2σ. Par symétrie, P(X ≥ 130) ≈ = 0,023.
Environ 2,3 % de la population a un QI supérieur à 130.
3. Calculer à la calculatrice
Pour les autres intervalles, on utilise le menu « loi normale » de la calculatrice (probabilité d’un intervalle) en indiquant les bornes, μ et σ. Pour une borne infinie, on saisit un très grand nombre (par exemple 10⁹⁹ ou −10⁹⁹).
X suit N(1 000 ; 8²). Calculer P(990 ≤ X ≤ 1 010).
- Bornes 990 et 1 010, μ = 1 000, σ = 8.
- La calculatrice affiche environ 0,788 7.
P(990 ≤ X ≤ 1 010) ≈ 0,789.
4. Lien avec la loi binomiale
Quand n est grand (en pratique n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1 − p) ≥ 5), la loi binomiale B(n ; p) a un diagramme en bâtons proche d’une cloche : on peut l’approcher par la loi normale de même espérance np et de même écart type √(np(1 − p)) (théorème de Moivre-Laplace).
X suit B(400 ; 0,5)
- np = 200 et √(np(1 − p)) = √100 = 10.
- On approche X par N(200 ; 10²) : P(180 ≤ X ≤ 220) ≈ 0,954.
À retenir
- N(μ ; σ²) : cloche symétrique autour de μ, largeur fixée par σ.
- P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,683 ; à 2σ ≈ 0,954 ; à 3σ ≈ 0,997.
- P(X ≤ μ) = 0,5 et P(X ≤ μ − a) = P(X ≥ μ + a).
- Z = suit N(0 ; 1).
- B(n ; p) ≈ N(np ; np(1 − p)) pour n grand.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.