Un temps d’attente, une durée de vie, une position sur un segment peuvent prendre toutes les valeurs d’un intervalle. On ne peut plus donner la probabilité de chaque valeur : on décrit la loi par une fonction de densité, et les probabilités deviennent des aires, donc des intégrales.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Définir une fonction de densité et calculer une probabilité par une intégrale
- Utiliser la loi uniforme sur [a ; b]
- Utiliser la loi exponentielle de paramètre λ
- Calculer et interpréter une espérance
- Connaître la propriété d’absence de mémoire
1. Fonction de densité
Densité de probabilité : Une fonction f définie sur un intervalle I est une densité si elle est continue (sauf éventuellement en un nombre fini de points), positive sur I et si l’aire totale sous sa courbe vaut 1.
P(c ≤ X ≤ d) = ∫cd f(t) dt
- Pour tout réel c, P(X = c) = 0 : on peut donc écrire indifféremment ≤ ou <.
- Sur un intervalle borné [a ; b], l’espérance est E(X) = ∫ab t f(t) dt.
f(x) = kx sur [0 ; 2]. Trouver k.
- ∫02 kx dx = k[]02 = 2k
- 2k = 1, donc k = 0,5.
f(x) = 0,5x est une densité sur [0 ; 2].
2. Loi uniforme sur [a ; b]
Loi uniforme : X suit la loi uniforme sur [a ; b] si sa densité est constante : f(t) = sur [a ; b]. Toutes les zones de même longueur ont la même probabilité.
P(c ≤ X ≤ d) = ; E(X) =
Un bus passe toutes les 15 minutes ; on arrive au hasard
- Le temps d’attente T suit la loi uniforme sur [0 ; 15].
- P(T > 10) = =
- E(T) = 7,5 min
3. Loi exponentielle de paramètre λ
Loi exponentielle : X suit la loi exponentielle de paramètre λ > 0 si sa densité est f(t) = λe−λt sur [0 ; +∞[. Elle modélise des durées de vie sans vieillissement (composants électroniques, désintégration d’un noyau).
P(X ≤ t) = 1 − e−λt ; P(X > t) = e−λt
P(c ≤ X ≤ d) = e−λc − e−λd ; E(X) =
Durée de vie d’une ampoule (en heures), λ = 0,001
- E(X) = = 1 000 h
- P(X > 500) = e−0,5 ≈ 0,607
À retenir
- Densité : positive, aire totale 1 ; P(c ≤ X ≤ d) = ∫cd f.
- P(X = c) = 0 pour une loi à densité.
- Uniforme sur [a ; b] : P = , E = .
- Exponentielle : P(X > t) = e−λt, E = .
- La loi exponentielle est sans mémoire.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.