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Exercices : lois à densité : loi uniforme et loi exponentielle

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Lois à densité : loi uniforme et loi exponentielle — S’entraîner

Feuille d’exercices

Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 9

Identifie la loi, puis utilise la formule adaptée. Calculatrice autorisée.

Exercice 1
X suit la loi uniforme sur [0 ; 10]. Calcule P(2 ≤ X ≤ 5).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 2
X suit la loi uniforme sur [4 ; 10]. Calcule E(X).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Si X suit une loi à densité, alors P(X = 3) = 0.
VraiFaux
Exercice 4
La fonction constante f(x) = k est une densité sur [0 ; 5]. Calcule k.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 5
X suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,5. Calcule P(X > 2), arrondie au millième.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6
La durée de vie X (en mois) d’un appareil suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,02. Quelle est sa durée de vie moyenne ?
Écris tes calculs :
Réponse : ……………… mois
Exercice 7 — Coche la bonne réponse.
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ, que vaut P(X ≤ t) pour t ≥ 0 ?
- e^−λt
- 1 − e^−λt
- λe^−λt
- 1 − λt
Exercice 8
Un bus passe toutes les 15 minutes et tu arrives au hasard : ton attente suit la loi uniforme sur [0 ; 15]. Calcule la probabilité d’attendre plus de 10 minutes (arrondie au millième).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 9 — Relie chaque élément de gauche à celui de droite.
Associe chaque loi à son espérance.
1. 1. uniforme sur [0 ; 1]
2. 2. uniforme sur [2 ; 8]
3. 3. exponentielle de paramètre 0,5
4. 4. exponentielle de paramètre 0,1
- A. 2
- B. 0,5
- C. 5
- D. 10

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Lois à densité : loi uniforme et loi exponentielle — S’entraîner

Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants

Exercice 1
Réponse : 0,3
P(c ≤ X ≤ d) = .
1. P = = 0,3
Exercice 2
Réponse : 7
E(X) = = = 7 : le milieu de l’intervalle.
Exercice 3
Réponse : Vrai
P(X = 3) = ∫₃³ f(t) dt = 0 : l’aire d’un segment vertical est nulle.
Exercice 4
Réponse : 0,2
L’aire totale doit valoir 1.
1. ∫₀⁵ k dx = 5k = 1
2. k = 0,2
Exercice 5
Réponse : 0,368
P(X > t) = e^−λt.
1. P(X > 2) = e⁻¹ ≈ 0,368
Exercice 6
Réponse : 50 mois
E(X) = = = 50.
Exercice 7
Réponse : 1 − e^−λt
∫₀^t λe^−λx dx = [−e^−λx]₀^t = 1 − e^−λt. (λe^−λt est la densité, pas une probabilité.)
Exercice 8
Réponse : 0,3333
P(T > 10) = P(10 ≤ T ≤ 15) = .
1. = = ≈ 0,333
Exercice 9
Réponse : 1 → B · 2 → C · 3 → A · 4 → D
Uniforme : E = . Exponentielle : E = .

Identifie la loi, puis utilise la formule adaptée. Calculatrice autorisée.

Exercices corrigés : 0 / 9

Exercice 1 sur 9
Calcul
X suit la loi uniforme sur [0 ; 10]. Calcule P(2 ≤ X ≤ 5).
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 2 sur 9
Calcul
X suit la loi uniforme sur [4 ; 10]. Calcule E(X).
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 3 sur 9
Vrai ou faux
Si X suit une loi à densité, alors P(X = 3) = 0.
Vrai ou faux ?
VraiFaux
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 4 sur 9
Calcul
La fonction constante f(x) = k est une densité sur [0 ; 5]. Calcule k.
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 5 sur 9
Calcul
X suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,5. Calcule P(X > 2), arrondie au millième.
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 6 sur 9
Calcul
La durée de vie X (en mois) d’un appareil suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,02. Quelle est sa durée de vie moyenne ?
Ta réponsemois
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 7 sur 9
QCM
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ, que vaut P(X ≤ t) pour t ≥ 0 ?
Choisis une réponse
e^−λt1 − e^−λtλe^−λt1 − λt
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 8 sur 9
Calcul
Un bus passe toutes les 15 minutes et tu arrives au hasard : ton attente suit la loi uniforme sur [0 ; 15]. Calcule la probabilité d’attendre plus de 10 minutes (arrondie au millième).
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 9 sur 9
Association
Associe chaque loi à son espérance.
- uniforme sur [0 ; 1]
- uniforme sur [2 ; 8]
- exponentielle de paramètre 0,5
- exponentielle de paramètre 0,1
Aide d’ULU pour cet exercice

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