Répondre au hasard à un QCM, lancer un dé jusqu’à obtenir un 6, contrôler des pièces : ces expériences répètent une épreuve à deux issues. Selon la question posée, on compte le nombre de succès (loi binomiale) ou on attend le premier succès (loi géométrique).
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Reconnaître une épreuve et un schéma de Bernoulli
- Calculer des probabilités avec la loi binomiale
- Reconnaître et utiliser la loi géométrique
- Calculer et interpréter une espérance
- Déterminer un seuil
1. Épreuve et loi de Bernoulli
Épreuve de Bernoulli : Expérience aléatoire à deux issues : succès, de probabilité p, et échec, de probabilité 1 − p.
Loi de Bernoulli : La variable X qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre p : P(X = 1) = p, E(X) = p et V(X) = p(1 − p).
2. Loi binomiale : nombre de succès
Loi binomiale B(n ; p) : On répète n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p. La variable X égale au nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p.
P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)n − k pour k ∈ {0 ; 1 ; … ; n}
E(X) = np ; V(X) = np(1 − p) ; σ(X) = √(np(1 − p))
X suit B(5 ; 0,4). Calculer P(X = 2).
- C(5, 2) = 10
- P(X = 2) = 10 × 0,4² × 0,6³ = 10 × 0,16 × 0,216
P(X = 2) = 0,345 6.
3. Loi géométrique : rang du premier succès
Loi géométrique de paramètre p : On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre p (indépendantes) jusqu’au premier succès. La variable X égale au rang du premier succès suit la loi géométrique de paramètre p, à valeurs dans {1 ; 2 ; 3 ; …}.
P(X = k) = (1 − p)k − 1 × p
P(X > k) = (1 − p)ᵏ ; P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)ᵏ
E(X) =
On lance un dé équilibré jusqu’à obtenir 6
- X suit la loi géométrique de paramètre .
- P(X = 3) = ()² × = ≈ 0,116
- E(X) = 6 : en moyenne, il faut 6 lancers.
4. Simuler
from random import random
def premier_succes(p):
rang = 1
while random() >= p:
rang = rang + 1
return rang
L = [premier_succes(1/6) for i in range(10000)]
print(sum(L) / len(L)) # proche de 6À retenir
- Binomiale B(n ; p) : nombre de succès en n épreuves indépendantes.
- P(X = k) = C(n, k)pᵏ(1 − p)n−k, E(X) = np, V(X) = np(1 − p).
- Géométrique : rang du premier succès, P(X = k) = (1 − p)k−1p.
- Géométrique : P(X > k) = (1 − p)ᵏ et E(X) = .
- La loi géométrique est sans mémoire.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.