L’arithmétique étudie les nombres entiers. En Seconde, on donne une définition précise des multiples, des diviseurs et de la parité, ce qui permet de démontrer des propriétés vraies pour tous les entiers, et pas seulement de les vérifier sur des exemples.
Objectifs
- Connaître la définition d’un multiple et d’un diviseur dans ℤ
- Écrire un nombre pair ou impair à l’aide d’un entier k
- Démontrer une propriété simple sur les entiers
- Rendre une fraction irréductible
1. Multiples et diviseurs
Multiple : Soit a et b deux entiers relatifs. On dit que a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que a = kb. On dit aussi que b est un diviseur de a (ou que b divise a).
Exemple
- −12 = (−4) × 3 : −12 est un multiple de 3 et 3 est un diviseur de −12.
- 0 = 0 × b : 0 est un multiple de tout entier.
- Les diviseurs positifs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Propriété : la somme de deux multiples de a est un multiple de a
- Soit m et n deux multiples de a : il existe des entiers k et k′ tels que m = ka et n = k′a.
- m + n = ka + k′a = (k + k′)a.
- k + k′ est un entier, donc m + n est un multiple de a.
2. Nombres pairs et impairs
- Un entier n est pair s’il est multiple de 2 : il existe un entier k tel que n = 2k.
- Un entier n est impair s’il n’est pas pair : il existe un entier k tel que n = 2k + 1.
Démonstration : le carré d’un nombre impair est impair
- Soit n impair : n = 2k + 1 avec k entier.
- n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1.
- 2k² + 2k est un entier : n² est de la forme 2K + 1, donc n² est impair.
3. Fractions irréductibles
Fraction irréductible : Une fraction est irréductible lorsque a et b n’ont pas d’autre diviseur positif commun que 1.
Rendre irréductible
- 84 = 2 × 42 et 126 = 3 × 42 : 42 est un diviseur commun (c’est le plus grand).
- = =
= , et 2 et 3 n’ont que 1 comme diviseur commun.
4. Algorithmes
En Python, l’opérateur % donne le reste de la division euclidienne. a est un multiple de b (b ≠ 0) si et seulement si a % b == 0.
def est_multiple(a, b):
return a % b == 0
def plus_grand_multiple(a, b):
# a et b entiers positifs, a non nul
m = 0
while m + a <= b:
m = m + a
return mÀ retenir
- a est multiple de b ⟺ il existe un entier k tel que a = kb.
- Pair : n = 2k ; impair : n = 2k + 1.
- La somme de deux multiples de a est un multiple de a.
- Le carré d’un nombre impair est impair.
- Fraction irréductible : numérateur et dénominateur n’ont que 1 comme diviseur commun positif.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.