Exercices : multiples, diviseurs et parité

Exercice 1

Réponse : Vrai

−12 = (−4) × 3 et −4 est un entier. Un multiple peut être négatif.

Exercice 2

Réponse : 9

On cherche les diviseurs par paires : 36 = d × d′.

1. 36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 4 × 9 = 6 × 6
2. Diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
3. Il y en a 9 (6 n’est compté qu’une fois).

Exercice 3

Réponse : entier · diviseur

C’est la définition du programme : a = kb avec k entier. On dit aussi que b divise a.

Exercice 4

Réponse : toujours impair

n = 2k + 1, donc n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 : n² est impair.

Exercice 5

Réponse : 2/3

On divise numérateur et dénominateur par leur plus grand diviseur commun, 42.

1. 84 = 2 × 42 et 126 = 3 × 42
2. 84126 = 23

Exercice 6

Réponse : 98

On effectue la division euclidienne de 100 par 7.

1. 100 = 7 × 14 + 2
2. 7 × 14 = 98 ≤ 100 et 7 × 15 = 105 > 100

Exercice 7

Réponse : toujours pair

n et n + 1 sont deux entiers consécutifs : l’un des deux est pair. Leur produit est donc un multiple de 2.

1. Si n = 2k : n(n + 1) = 2k(n + 1), pair.
2. Si n = 2k + 1 : n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1), donc n(n + 1) est pair.

Exercice 8

Réponse : a % b == 0

a % b donne le reste de la division euclidienne de a par b. a est un multiple de b exactement quand ce reste est nul.

Exercice 9

Exemple de réponse : Soit a et b deux entiers impairs. Il existe deux entiers k et k′ tels que a = 2k + 1 et b = 2k′ + 1.
a + b = 2k + 1 + 2k′ + 1 = 2k + 2k′ + 2 = 2(k + k′ + 1).
k + k′ + 1 est un entier, donc a + b est pair.

Attention à utiliser deux lettres différentes : avec le même k, on ne traiterait que le cas a = b.

• Deux entiers différents k et k′ (et non le même k).
• Calcul de la somme.
• Mise en facteur de 2.
• Conclusion.